Question

某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1,2,3，…，24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生．

(1)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率P_i(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄了輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)．
甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)

運(yùn)行次數(shù)n	輸出y的值 為1的頻數(shù)	輸出y的值 為2的頻數(shù)	輸出y的值 為3的頻數(shù)
30	14	6	10
…	…	…	…
2 100	1 027	376	697

 
乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)

運(yùn)行次數(shù)n	輸出y的值 為1的頻數(shù)	輸出y的值 為2的頻數(shù)	輸出y的值 為3的頻數(shù)
30	12	11	7
…	…	…	…
2 100	1 051	696	353

 
當(dāng)n＝2 100時(shí)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大；
(3)將按程序框圖正確編寫的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）     
（2）乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大
（3）ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

 
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1

解：(1)變量x是在1,2,3，…，24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù)，共有24種可能．
當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為1，故P₁＝；
當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為2，故P₂＝；
當(dāng)x從6,12,18,24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為3，故P₃＝．
所以輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為．
(2)當(dāng)n＝2 100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率如下：

	輸出y的值 為1的頻率	輸出y的值 為2的頻率	輸出y的值 為3的頻率
甲
乙

 
比較頻率趨勢(shì)與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大．
(3)隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,1,2,3．
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝×＝．
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

 
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．
即ξ的數(shù)學(xué)期望為1．