Question

某種海洋生物身體的長(zhǎng)度（單位：米）與生長(zhǎng)年限t（單位：年）
滿(mǎn)足如下的函數(shù)關(guān)系：.（設(shè)該生物出生時(shí)t=0）
（1）需經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，該生物的身長(zhǎng)超過(guò)8米；
（2）設(shè)出生后第年，該生物長(zhǎng)得最快，求的值.

Answer 1

（1）6年；（2）4或5．

試題分析：（1）求需經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，該生物的身長(zhǎng)超過(guò)8米，實(shí)質(zhì)就是解不等式，不等式解集中的最小值就是本題結(jié)論；（2）首先要搞懂什么是“長(zhǎng)得最快”，“長(zhǎng)得最快”就是說(shuō)明這一年該生物身體增長(zhǎng)的長(zhǎng)度最大，因此實(shí)質(zhì)就是求的最大值，即就是這個(gè)最大值，下面我們只要求出，分析它的最大值是在為何值時(shí)取得，
，此式較繁，因此我們用換元法，設(shè)，由有
，它的最大值求法一般是分子分母同時(shí)除以，然后用基本不等式及不等式的性質(zhì)得到結(jié)論．
試題解析：（1）設(shè)，即，解得，
即該生物6年后身長(zhǎng)可超過(guò)8米；              5分
（2）設(shè)第年生長(zhǎng)最快，于是有
，    8分
令，則，
令，    11分
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)即，，時(shí)成立，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032357327551.png" style="vertical-align:middle;" />，因此可能值為4或5，由知，所求有年份為第4年和第5年，兩年內(nèi)各生長(zhǎng)了米．   14分