已知函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1,(n∈N*,且n>1).
(1)設(shè)函數(shù)h(x)=f3(x)-F2(x),x∈[-2,0],求h(x)的最大值和最小值.
(2)若x>-2求證:fn(x)≥nx.
【答案】分析:(1)根據(jù)題意求出h(x)的導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)x的值,然后當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的增減區(qū)間,得到函數(shù)的最大值和最小值即可;
(2)令g(x)=fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx.求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最小值為g(0)=0,即可得證.
解答:解:(1)h(x)=f3(x)-f2(x)=x(1+x)2,x∈[0,2]
∴h'(x)=(1+x)2+2x(1+x)=(1+x)(1+3x),
令h'(x)=0,得x=-1或x=-,

∴h(x)在(-2,-1),(-,0)上單調(diào)遞增,在(-1,-)上單調(diào)遞減,過點(diǎn)(0,0).
∴x∈[-2.0]時(shí),f(x)max=f(-1)=f(10)=0.f(x)min=f(-2)=-2

(2)令g(x)=fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx.
則g'(x)=n(x+1)n-1-n=n[(x+1)n-1-1],
∴當(dāng)-2<x<0時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x>0時(shí)g'(x)>0.
∴g(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=0時(shí),g(x)min=g(0)=0,即g(0)≥g(x)min=0,
∴fn(x)≥nx.
點(diǎn)評:考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力,以及用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問題的能力,是一道中等題.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1,(n∈N*,且n>1).
(1)設(shè)函數(shù)h(x)=f3(x)-F2(x),x∈[-2,0],求h(x)的最大值和最小值.
(2)若x>-2求證:fn(x)≥nx.

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已知函數(shù)fn(x)=x3-nx-1(x>0,n∈N*).
(Ⅰ)求函數(shù)f3(x)的極值;
(Ⅱ)判斷函數(shù)fn(x)在區(qū)間(
n
,
n+1
)
上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并給予證明.

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已知函數(shù)fn(x)=1+x+x2+…+xn(n∈N*).
(1)當(dāng)n=1,2,3時(shí),分別求函數(shù)fn(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)n=2時(shí),關(guān)于x的方程ln(x+1)=-
5
2
x+m+f(x)-1
在區(qū)間[0,2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)求證:對任意的正整數(shù)n,不等式ln
n+1
n
n+1
n2
都成立.

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已知函數(shù)fn(x)=x3-nx-1(x>0,n∈N*).
(Ⅰ)求函數(shù)f3(x)的極值;
(Ⅱ)判斷函數(shù)fn(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并給予證明.

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