Question

已知函數f_n（x）=x³-nx-1（x＞0，n∈N^*）．
（Ⅰ）求函數f₃（x）的極值；
（Ⅱ）判斷函數f_n（x）在區(qū)間上零點的個數，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數f₃（x）的導函數，在定義域內根據導函數的符號判斷原函數在不同區(qū)間內的單調性，由單調性分析極值；
（Ⅱ）由可知函數f_n（x）在區(qū)間上有零點，然后利用導函數的符號得到函數f_n（x）在區(qū)間上單調遞增，從而得到答案．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，
∵當x＞1時，；當0＜x＜1時，．
∴當x=1時，f₃（x）取得極小值-3，無極大值；
（Ⅱ）函數f_n（x）在區(qū)間上有且只有一個零點．
證明：
∵，
，
，∴函數f_n（x）在區(qū)間上必定存在零點．
∵，∴當時，，
∴f_n（x）在區(qū)間上單調遞增，
∴函數f_n（x）在區(qū)間上的零點最多一個．
綜上知：函數f_n（x）在區(qū)間上存在唯一零點．
點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件，考查了零點存在性定理，單調函數在區(qū)間[a，b]上滿足f（a）f（b）＜0，則函數在區(qū)間（a，b）上有唯一零點，是中檔題．