【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，延長交橢圓于點(diǎn)，的周長為8.

（1）求的離心率及方程；

（2）試問：是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）,； （2）存在點(diǎn)，且.

【解析】

（1）由已知條件得，，即可計(jì)算出離心率和橢圓方程

（2）假設(shè)存在點(diǎn)，分別求出直線的斜率不存在、直線的斜率存在的表達(dá)式，令其相等，求出結(jié)果

（1）由題意可知，，則，

又的周長為8，所以，即，

則，.

故的方程為.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值.

若直線的斜率不存在，直線的方程為，，，

則.

若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，

設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，得，

根據(jù)韋達(dá)定理可得：，，

由于，，

則

因?yàn)?/span>為定值，所以，

解得，故存在點(diǎn)，且.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知， .

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，AF⊥BF，∠ABF＝，，，則橢圓的離心率的取值范圍為_______．

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【題目】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足．設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為，則的最大值是_______.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.

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【題目】[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）時(shí)，解關(guān)于x的不等式；

（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)。

（1）求的取值范圍；

（2）求證：。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(1)求與直線3x＋4y－7＝0垂直，且與原點(diǎn)的距離為6的直線方程；

(2)求經(jīng)過直線l1：2x＋3y－5＝0與l2：7x＋15y＋1＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x＋2y－3＝0的直線方程．

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