如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.

(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設直線有公共點,求證,進而證明原點不是“C1—C2型點”;
(3)求證:圓內的點都不是“C1—C2型點”.

(1) C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為;
(2)直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”.
(3)直線若與圓內有交點,則不可能同時與曲線C1和C2有交點,
即圓內的點都不是“C1-C2型點”.

解析試題分析:
思路分析:(1)緊扣“C1-C2型點”的定義,確定C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為;
(2)通過研究直線與C2有交點的條件,分別得到 ,不可能同時成立,得到結論:直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”.
(3)顯然過圓內一點的直線若與曲線C1有交點,則斜率必存在;
根據(jù)對稱性,不妨設直線斜率存在且與曲線C2交于點,則
 
根據(jù)直線與圓內部有交點,得到 
化簡得,............①
再根據(jù)直線與曲線C1有交點, 由方程組
 
化簡得,.....②
由①②得, 
但此時,因為,即①式不成立;
時,①式也不成立 ,得出結論。
解:(1)C1的左焦點為,過F的直線與C1交于,與C2交于,故C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為;
(2)直線與C2有交點,
,若方程組有解,則必須;
直線與C2有交點,則
,若方程組有解,則必須 
故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”.
(3)顯然過圓內一點的直線若與曲線C1有交點,則斜率必存在;
根據(jù)對稱性,不妨設直線斜率存在且與曲線C2交于點,則
 
直線與圓內部有交點,故 
化簡得,............①
若直線與曲線C1有交點,則
 
 
化簡得,.....②
由①②得, 
但此時,因為,即①式不成立;
時,①式也不成立
綜上,直線若與圓內有交點,則不可能同時與曲線C1和C2有交點,
即圓內的點都不是“C1-C2型點”.
考點:新定義問題,直線與圓的位置關系,直線與雙曲線的位置關系,一元二次不等式的解法。
點評:難題,本題綜合性較強,綜合考查直線與圓、雙曲線的位置關系以及不等式問題。從思路方面講,要緊扣“C1-C2型點”的定義,研究方程組解的情況。

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