選修4-5不等式選講
(1)已知x,y,z∈R,且x2+y2+z2=1,求2x+3y+4z的最小值;
(2)解關(guān)于x的不等式:|2x+1|+|x+2|>5.
分析:(1)分析題目已知x2+y2+z2=1,求2x+3y+4z的最大值.考慮到應(yīng)用柯西不等式(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2),首先構(gòu)造出柯西不等式求出(2x+3y+4z)2的最大值,開平方根即可得到答案.
(2)可令f(x)=|x-5|-|2x+3|,再將其解析式變化成分段函數(shù)的形式,分段解不等式,將所得的結(jié)果并起來,得到絕對(duì)值不等式的解集.
解答:解:(1)因?yàn)橐阎獂2+y2+z2=1根據(jù)柯西不等式(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)構(gòu)造得:
即(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)≤1×29=29
故2x+3y+4z≤
29
.當(dāng)且僅當(dāng)
x
2
=
y
3
=
z
4
時(shí)取等號(hào).
則2x+3y+4z的最大值是
29

故答案為:
29

(2)解:f(x)=|2x+1|+|x+2|=
-3x-3,x≤-2
1-x,-2≤x≤-
1
2
3x+3,x>
1
2
,
當(dāng)x<-2時(shí),由-3x-3>5 可得  x<-
8
3
,解得 x<-
8
3

當(dāng)-2≤x≤-
1
2
時(shí),由1-x>5,可得 x<-4,不等式無解.
當(dāng) x>-
1
2
時(shí),由3x+3>5 可得 x>
2
3
,解得x>
2
3

綜上可得  x<-
8
3
或x>
2
3

故不等式的解集為:{x|x<-
8
3
或 x>
2
3
}.
點(diǎn)評(píng):(1)此題主要考查柯西不等式的應(yīng)用問題,對(duì)于此類題目有很多解法,但大多數(shù)比較繁瑣,而用柯西不等式求解非常簡(jiǎn)練,需要同學(xué)們注意掌握.
(2)本題考察絕對(duì)值不等式的解法,解題的關(guān)鍵是將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化,即去掉絕對(duì)值號(hào)轉(zhuǎn)化為不含有絕對(duì)值的不等式,進(jìn)行求解,轉(zhuǎn)化的方法一般有二,一是平方的方法,此法不適合本題,因?yàn)榈脙纱纹椒讲拍苋サ艚^對(duì)值號(hào),二是分類討論法,本題采取了這種方法,將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為三個(gè)一次不等式求解,根據(jù)題設(shè)條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)順利解題的很重要.
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相關(guān)習(xí)題

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精英家教網(wǎng)選做題(請(qǐng)考生在以下三個(gè)小題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)閱記分)
A.(選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程)將參數(shù)方程
x=e2+e-2
y=2(e2-e-2)
(e為參數(shù))化為普通方程是
 

B.(選修4-5 不等式選講)不等式|x-1|+|2x+3|>5的解集是
 

C.(選修4-1 幾何證明選講)如圖,在△ABC中,AD是高線,CE是中線,|DC|=|BE|,DG⊥CE于G,且|EC|=8,則|EG|=
 

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選修4-5不等式選講
設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2

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(1)(選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
,則極點(diǎn)到該直線的距離是
2
2
2
2

(2)(選修4-5 不等式選講)
已知lga+lgb=0,則滿足不等式
a
a2+1
+
b
b2+1
≤λ
的實(shí)數(shù)λ的范圍是
[1,+∞)
[1,+∞)

(3)(選修4-1 幾何證明選講)
如圖,兩個(gè)等圓⊙O與⊙O′外切,過O作⊙O′的兩條切線OA,OB,A,B是切點(diǎn),點(diǎn)C在圓O′上且不與點(diǎn)A,B重合,則∠ACB=
60°
60°

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(考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)閱記分)
A.(選修4-5 不等式選講)
若任意實(shí)數(shù)x使m≥|x+2|-|5-x|恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
[7,+∞)
[7,+∞)
;
B.(選修4-1 幾何證明選講)
如圖:EB、EC是⊙O的兩條切線,B、C是切點(diǎn),A、D是⊙O上兩點(diǎn),如果∠E=46°,∠DCF=32°,則∠A的度數(shù)是
99°
99°
;
C.(選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
極坐標(biāo)系下,直線ρcos(θ-
π
4
)=
2
與圓ρ=
2
的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)閱記分)
(A)(選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知點(diǎn)A是曲線ρ=2sinθ上任意一點(diǎn),則點(diǎn)A到直線ρsin(θ+
π
3
)=4
的距離的最小值是
5
2
5
2

(B)(選修4-5不等式選講)已知2x+y=1,x>0,y>0,則
x+2y
xy
的最小值是
9
9

(C)(選修4-1幾何證明選講)若直角△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D,且AD=1,BD=2,則△ABC的面積為
2
2

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