已知A，B是△ABC的兩個內(nèi)角，
a
=
2
cos
A+B
2
i
+sin
A-B
2
j
，（其中
i
，
j
是互相垂直的單位向量），若|
a
|=
6
2
．
（1）試問tanA•tanB是否為定值，若是定值，請求出，否則請說明理由；
（2）求tanC的最大值，并判斷此時三角形的形狀．
（1）tanA•tanB為定值
1
3
，證明如下：
由|
a
|2=
3
2
，得2cos2
A+B
2
+sin2
A-B
2
=
3
2

∴1+cos（A+B）+
1-cos(A-B)
2
=
3
2

即2cos（A+B）=cos（A-B），即cosAcosB=3sinAsinB
∴tanAtanB=
1
3

（2）∵tanAtanB=
1
3
＞0，∴tanA＞0，tanB＞0
∴tan（A+B）=
tanA+tanB
1-tanAtanB
=
3
2
（tanA+tanB）≥
3
2
×2
tanA•tanB
=
3

∴tan（A+B）≥
3
，即-tanC≥
3

∴tanC≤-
3

當tanC=-
3
時，
tanA+tanB=
2
3
3
tanA•tanB=
1
3
，即tanA=tanB=
3
3

∴A=B=30°
∴tanC的最大值為-
3
，此時△ABC為等腰三角形
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B是△ABC的兩個內(nèi)角，且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的兩個實根，求m的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B是△ABC的兩個內(nèi)角，若p：sinA＜sin（A+B），q：A∈（0，
π
2
），則p是q的（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B是△ABC的兩個內(nèi)角，
a
=
2
cos
A+B
2
i
+sin
A-B
2
j
，（其中
i
，
j
是互相垂直的單位向量），若|
a
|=
6
2
．
（1）試問tanA•tanB是否為定值，若是定值，請求出，否則請說明理由；
（2）求tanC的最大值，并判斷此時三角形的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•棗莊二模）已知A，B是△ABC的兩個內(nèi)角，向量
a
=(
2
cos
A+B
2
，sin
A-B
2
)，且|
a
|=
6
2
．
（1）證明：tanAtanB為定值；
（2）若A=
π
6
，AB=2，求邊BC上的高AD的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B是△ABC的兩個內(nèi)角，
a
=
2
cos
A+B
2
i
+sin
A-B
2
j
，其中
i
、
j
為互相垂直的單位向量，若|
a
|=
6
2
．求tanA•tanB的值．

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