【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）設(shè)，若曲線在兩個(gè)不同的點(diǎn)，處的切線互相平行，求證：.

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析；

【解析】

（1）求出，分類討論或，判斷的正負(fù)即可求解.

（2）根據(jù)題意可得，代入導(dǎo)函數(shù)整理可得，利用基本不等式證出，從而，令，不妨設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出最小值即可證出.

解：（1），.

（i）當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)，

此時(shí)無極值.

（ii）當(dāng)時(shí)，考慮二次函數(shù)，則.

當(dāng)時(shí)，，則，

即對(duì)任意的恒成立，所以在上是增函數(shù)，

此時(shí)無極值.

當(dāng)時(shí)，，

則的兩根為，.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以在處有極大值，在處有極小值.

（2）由題意，得，，，，

且.

移項(xiàng)整理，得.

因?yàn)?/span>，，，

所以，即.

.

令，則.

設(shè)，

則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，

即，

故成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，且滿足____________.（從①）；②成等比數(shù)列；③，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到題干中的橫線位置，并根據(jù)你的選擇解決問題）

（I）求；

（Ⅱ）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）過點(diǎn)，傾斜角為的直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠質(zhì)檢部門要對(duì)該廠流水線生產(chǎn)出的一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品，則此次檢查通過且認(rèn)為這批產(chǎn)品合格，如果在尚未抽到第件時(shí)已檢查到不合格品則拒絕通過且認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.設(shè)這批產(chǎn)品的數(shù)量足夠大，可以認(rèn)為每次檢查查到不合格品的概率都為，即每次抽查的產(chǎn)品是相互獨(dú)立的.

（1）若，求這批產(chǎn)品能夠通過檢查的概率；

（2）已知每件產(chǎn)品質(zhì)檢費(fèi)用為50元，若，設(shè)對(duì)這批產(chǎn)品的質(zhì)檢個(gè)數(shù)記作，求的分布列；

（3）在（2）的條件下，已知1000批此類產(chǎn)品，若，則總平均檢查費(fèi)用至少需要多少元？（總平均檢查費(fèi)用每批次平均檢查費(fèi)用批數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn) 在曲線：，（為參數(shù)，）上運(yùn)動(dòng)，以為極軸建立極坐標(biāo)系.直線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ)寫出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上且平面，在延長(zhǎng)線上，，交于，且

(1)證明：平面；

(2)設(shè)點(diǎn)在線段上，若二面角為，求的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在此拋物線上，，不過原點(diǎn)的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓M過坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求拋物線C的方程；

(2)證明：直線恒過定點(diǎn)；

(3)若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求此時(shí)直線和圓M的方程．

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