Question

【題目】某省組織了一次高考模擬考試，該省教育部門(mén)抽取了1000名考生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分以上（含95分）的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）已知本次模擬考試全省考生的數(shù)學(xué)成績(jī)X～N（μ，σ2），其中μ近似為樣本的平均數(shù)，σ2近似為樣本方差，試估計(jì)該省的所有考生中數(shù)學(xué)成績(jī)介于100～138.2分的概率；
（Ⅲ）以頻率估計(jì)概率，若從該省所有考生中隨機(jī)抽取4人，記這4人中成績(jī)?cè)赱105，125）內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)： ≈18.9， ≈19.1， ≈19.4．
若Z∽N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.9826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9976．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，成績(jī)?cè)?5分以下（不含95分）的頻率為： （0.002+0.008+0.014+0.015）×10=0.39，
∴樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分以上（含95分）的學(xué)生人數(shù)為：
1000×（1﹣0.39）=610．
（Ⅱ）∵ =60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，
S2=1600×0.02+900×0.08+400×0.14+100×0.15+0×0.24+100×0.15+400×0.1+900×0.08+1600×0.04=366．
∴X～N（100，366），故p（100＜x＜138.2）= =0.4772．
（Ⅲ）依題意，成績(jī)?cè)赱105，125）內(nèi)的頻率是0.25，故X～B（4， ），
P（X=0）=（ ）4= ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）=（ ）4= ，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

∵X～B（4， ），∴E（X）=4× =1
【解】（Ⅰ）先求出成績(jī)?cè)?5分以下（不含95分）的頻率，由此能求出樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分以上（含95分）的學(xué)生人數(shù)．（Ⅱ）先分別求出 ，S2 ， 從而X～N（100，366），由此能求出p（100＜x＜138.2）的值．（Ⅲ）成績(jī)?cè)赱105，125）內(nèi)的頻率是0.25，故X～B（4， ），由此能求出X的分布列和E（X）．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列才能正確解答此題．