Question

“數(shù)學史與不等式選講”模塊
（1）用數(shù)學歸納法證明不等式：|sinnθ|≤n|sinθ|（n∈N^*）
（2）求函數(shù)f（x）=sin³xcosx，x∈（0，）的最大值．

Answer 1

（1）證明：①n=1時，|sinθ|≤|sinθ|成立；
②假設(shè)n=k時，命題成立，即|sinkθ|≤k|sinθ|成立
則n=k+1時，|sin（k+1）θ|=|sinkθcosθ+sinθcoskθ|≤|sinkθ+sinθ|≤（k+1）|sinθ|
即n=k+1時，命題成立
綜上，|sinnθ|≤n|sinθ|（n∈N^*）
（2）解：求導函數(shù)可得f′（x）=sin²x（3cos²x-sin²x）
∵x∈（0，），∴令f′（x）=0，可得x=
∵x∈（0，），f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；x∈（，），f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減
∴x=時，函數(shù)取得最大值．
分析：（1）先證明n=1時成立，計算n=k時，命題成立，利用放縮法，證明n=k+1時，命題成立；
（2）求導函數(shù)，取得函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值．
點評：本題考查數(shù)學歸納法，考查導數(shù)知識的運用，正確運用導數(shù)知識，掌握數(shù)學歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．