【題目】某校命制了一套調(diào)查問卷(試卷滿分均為100分),并對(duì)整個(gè)學(xué)校的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試.現(xiàn)從這些學(xué)生的成績(jī)中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī),按照分成5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于50分).
(1)求頻率分布直方圖中x的值,并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)用樣本估計(jì)總體,若該校共有2000名學(xué)生,試估計(jì)該校這次測(cè)試成績(jī)不低于70分的人數(shù);
(3)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的學(xué)生中抽取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人,試求成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生至少有1人被抽到的概率.
【答案】(1),74,;(2)1200;(3).
【解析】
(1)根據(jù)頻率和為可求得第第組的頻率,由此求得的值;根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)方法可計(jì)算得到結(jié)果;
(2)計(jì)算得到名學(xué)生中成績(jī)不低于分的頻率,根據(jù)樣本估計(jì)總體的方法,利用總數(shù)頻率可得所求人數(shù);
(3)根據(jù)分層抽樣原則確定、和種分別抽取的人數(shù),采用列舉法列出所有結(jié)果,從而可知成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生沒人被抽到的概率;根據(jù)對(duì)立事件概率公式可求得結(jié)果.
(1)由頻率分布直方圖可得第組的頻率為:
估計(jì)所抽取的名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為:
由于前兩組的頻率之和為,前三組的頻率之和為
中位數(shù)在第組中
設(shè)中位數(shù)為,則有:,解得:
即所求的中位數(shù)為
(2)由(1)知:名學(xué)生中成績(jī)不低于分的頻率為:
用樣本估計(jì)總體,可以估計(jì)高三年級(jí)名學(xué)生中成績(jī)不低于分的人數(shù)為:
(3)由(1)可知,后三組中的人數(shù)分別為,,
這三組中所抽取的人數(shù)分別為,,
記成績(jī)?cè)?/span>的名學(xué)生分別為,成績(jī)?cè)?/span>的名學(xué)生分別為,成績(jī)?cè)?/span>的名學(xué)生為,則從中隨機(jī)抽取人的所有可能結(jié)果為:
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共種
其中成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生沒人被抽到的可能結(jié)果為,只有種,
故成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生至少有人被抽到的概率:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的方程為,曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)分別求出直線與曲線的極坐標(biāo)方程:
(2)點(diǎn)是曲線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是直線上位于第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,請(qǐng)求出的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,圓錐的頂點(diǎn)為A,底面的圓心為O,BC是底面圓的一條直徑,點(diǎn)D,E在底面圓上,已知,.
(1)證明:;
(2)若二面角的大小為,求直線OC與平面ACE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示,已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過7件的顧客占.
一次購(gòu)物量 | 1至3件 | 4至7件 | 8至11件 | 12至15件 | 16件及以上 |
顧客數(shù)(人) | 27 | 20 | 10 | ||
結(jié)算時(shí)間(/人) | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
(1)確定,的值,并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值;
(2)從收集的結(jié)算時(shí)間不超過的顧客中,按分層抽樣的方法抽取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人,求至少有1人的結(jié)算時(shí)間為的概率.(注:將頻率視為概率)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),AB=BE=2.
(Ⅰ)求證:EG∥平面ADF;
(Ⅱ)求二面角OEFC的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn),且AH=HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求在區(qū)間上的值域;
(2)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)任意給定的,在存在兩個(gè)不同的使得,若存在,求出的范圍,若不存在,說出理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù),要求是:任務(wù)必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)之后需立即執(zhí)行任務(wù),任務(wù)、相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有______種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,,四邊形和四邊形是兩個(gè)全等的等腰梯形.
(1)求證:四邊形為矩形;
(2)若平面平面,,,,求多面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),過作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線、.
(1)求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)直線、分別交拋物線于、兩點(diǎn)(均不與重合,如圖),記直線的斜率為正數(shù),若以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,求的值.
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