記三角形面積為S，三條邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則平面幾何有性質(zhì)：S=（a+b+c）•r．若記四面體的體積為V，四個面面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，請你用類比方法寫出立體幾何中相似的性質(zhì)    ．
【答案】分析：根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線 類比 直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．
解答：解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，
則球心O到四個面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點，
分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．
利用類比推理可以得到四面體的體積為 V=（S1+S2+S3+S4）•R．
故答案為：V=（S1+S2+S3+S4）•R．
點評：類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（或猜想）．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記三角形面積為S，三條邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則平面幾何有性質(zhì)：S=
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2
（a+b+c）•r．若記四面體的體積為V，四個面面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，請你用類比方法寫出立體幾何中相似的性質(zhì)
V=
1
3
（S1+S2+S3+S4）•R
V=
1
3
（S1+S2+S3+S4）•R
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•湖北）如圖，某地質(zhì)隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1．同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．過AB，AC的中點M，N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為S中．
（Ⅰ）證明：中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）在△ABC中，記BC=a，BC邊上的高為h，面積為S．在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量（即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V）時，可用近似公式V估=S中-h來估算．已知V=
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（d1+d2+d3）S，試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省湛江市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，在空間四面體P-ABC中，記底面△ABC的面積為S，三個側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，若PA，PB，PC兩兩垂直，則有結(jié)論    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，某地質(zhì)隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1．同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．過AB，AC的中點M，N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為S中．
（Ⅰ）證明：中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）在△ABC中，記BC=a，BC邊上的高為h，面積為S．在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量（即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V）時，可用近似公式V估=S中-h來估算．已知V=（d1+d2+d3）S，試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明．

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