精英家教網(wǎng)如圖，過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，
點(diǎn)A和點(diǎn)B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，OP∥AB．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)F2作一條弦QR，使QR⊥AB．若△F1QR的面積為20
3
，求橢圓的方程．
分析：（1）由于F1（-c，0），P(-c，
b2
a
)．且OP∥AB，根據(jù)直線的斜率相等得到：kOP=kAB解得：b=c．從而a=
2
c，即可求得橢圓的離心率e；
（2）由（1）知橢圓方程可化簡(jiǎn)為x2+2y2=2b2．①易求直線QR的斜率為
2
，故可設(shè)直線QR的方程為：y=
2
(x-b) 將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得b值，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（1）∵F1（-c，0），∴P(-c，
b2
a
)．
∵OP∥AB，∴kOP=kAB，∴
b2
a
c
=
b
a
，
解得：b=c．∴a=
2
c，故e=
2
2
．
（2）由（1）知橢圓方程可化簡(jiǎn)為x2+2y2=2b2．
①易求直線QR的斜率為
2
，故可設(shè)直線QR的方程為：y=
2
(x-b)．②
由①②消去y得：5x2-8bx+2b2=0．
∴x1+x2=
8b
5
，x1x2=
2b2
5
．
于是△F1QR的面積S=c•|y1-y2|=
2
c•|x1-x2|=
2
b•
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
b•
(
8b
5
)2-4×
2b2
5
=
4
3
5
b2=20
3
，∴b=5．因此橢圓的方程為x2+2y2=50，即
x2
50
+
y2
25
=1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是要求考生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，過(guò)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的動(dòng)點(diǎn)M引圓O：x2+y2=b2的兩條切線MA，MB，其中A，B分別為切點(diǎn)，，若橢圓上存在點(diǎn)M，使∠BMA=
π
2
，則該橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，以橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A．連接OA交小圓于點(diǎn)B．設(shè)直線BF是小圓的切線．
（1）求證c2=ab，并求直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求證
OP
•
OQ
=
1
2
b2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且過(guò)點(diǎn)A（0，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)．求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)P（0，-
3
5
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（如圖）過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB；若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱(chēng)點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”．
（1）求橢圓
x2
5
+y2=1的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)．
（2）試根據(jù)（1）中的結(jié)論猜測(cè)：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征點(diǎn)”M是一個(gè)怎么樣的點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．

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