Question

已知函數(shù) (a>0,且a≠1)，=.
（1）函數(shù)的圖象恒過定點A，求A點坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)的圖像過點(2,)，證明：函數(shù)在（1，2）上有唯一的零點.

Answer 1

（1）
（2）先利用已知條件求出a，在利用單調(diào)性和零點存在定理即可證明

解析試題分析：（1）因為對數(shù)函數(shù)恒過頂點（1,0），
所以令所以過頂點                                 5分
（2）∵  
∴代入計算可得a=2                                                         7分
∴
上的增函數(shù)和減函數(shù)
∴
∴                                      10分
又（1，2）
∴上至多有一個零點.                                            12分
而

∴函數(shù)（1，2）                                  16分
考點：本小題主要考查對數(shù)函數(shù)過定點和函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在定理的應(yīng)用.
點評：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都過定點，這條性質(zhì)要靈活應(yīng)用；利用函數(shù)的零點存在定理時要注意它只能判斷有零點，不能判斷零點的個數(shù).