Question

設函數(shù)是定義在［－1，0）∪（0，1］上的奇函數(shù)，當x∈［－1，0）時，（a∈R).

（1）當x∈(0，1］時，求的解析式；

（2）若a＞－1，試判斷在（0，1）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）是否存在a，使得當x∈（0，1）時，f(x)有最大值－6.

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)=2ax－，x∈(0，1］；（2）見解析；

（3）存在a=－2，使f(x)在（0，1）上有最大值－6.

【解析】(1)對于奇函數(shù)求對稱區(qū)間上的解析式，根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱的特征，只須用-x，-y,分別代替原對稱區(qū)間中的x,y,然后兩邊同乘以-1，即可得到所求區(qū)間上的解析式

(2)通過證明當a>-1時，判斷在上的值的情況，進而確定f(x)在（0，1］上是否具有單調(diào)性

(3)本題本質(zhì)是求函數(shù)f(x)在x∈（0，1）上的最大值因而，要對a進行討論求最大值，然后利用最大值為-6，求出a值，再驗證是否滿意a的條件，進而判斷出a值是否存在

（1）設x∈(0，1］，則－x∈［－1，0)，f(－x)=－2ax+，

∵f(x)是奇函數(shù).∴f(x)=2ax－，x∈(0，1］.                    

（2）證明：∵f′(x)=2a+，

∵a>－1，x∈(0，1］，>1，∴a+>0.即f′(x)>0.

∴f(x)在（0，1］上是單調(diào)遞增函數(shù).  

（3）解：當a>－1時，f(x)在（0，1］上單調(diào)遞增.

f(x)_max=f(1)=－6，a=－(不合題意，舍之），　

當a≤－1時，f′(x)=0，x=.

如下表：f_max(x)=f()=－6，解出a=－2.　x=∈(0，1).   

	（－∞，）		（，+∞）
	+	0	－
		最大值

∴存在a=－2，使f(x)在（0，1）上有最大值－6.