Question

設(shè)函數(shù)是定義在R上且滿足f（x+

5

2

）=-

1

f(x)

的奇函數(shù)，若f（2）＞1，f（2008）=

a+3

a-3

 則a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，0）

B．（0，3）

C．（0，+∞）

D．（-∞，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：利用條件f（x+

5

2

）=-

1

f(x)

的得到函數(shù)的周期，利用函數(shù)的奇偶性和周期性建立不等式關(guān)系，即可．

解答：解：由f（x+

5

2

）=-

1

f(x)

，得f（x+5）=f（x），即函數(shù)的周期性是5．
所以f（2008）=f（401×5+3）=f（3）=f（-2），
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以f（-2）=-f（2），
所以f（2）=-f（-2）＞1，即f（-2）＜-1，
即f（2008）＜-1，
所以

a+3

a-3

＜-1，即

a+3

a-3

+1=

2a

a-3

＜0，解得0＜a＜3，
即a的取值范圍是（0，3）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)周期性的判斷以及函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)的綜合性質(zhì)．