Question

關(guān)于曲線x³-y³+9x²y+9xy²=0，有下列命題：
①曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；
②曲線關(guān)于x軸對稱；
③曲線關(guān)于y軸對稱；
④曲線關(guān)于直線y=x對稱；
其中正確命題的序號是

①

．

Answer 1

分析：設(shè)（a，b）點(diǎn)在曲線上，則（a，b）點(diǎn)滿足方程x³-y³+9x²y+9xy²=0，然后判定（a，-b），（-a，b），（-a，-b），（b，a）是否在曲線x³-y³+9x²y+9xy²=0上，從而得到結(jié)論．

解答：解：若（a，b）點(diǎn)在曲線C：x³-y³+9x²y+9xy²=0上，則a³-b³+9a²b+9ab²=0，
令x=a，y=-b，則a³+b³-9a²b+9ab²=0，故點(diǎn)（a，-b）不在曲線C上，即不關(guān)于x軸對稱；
令x=-a，y=b，則-a³-b³+9a²b-9ab²=0，故點(diǎn)（-a，b）不在曲線C上，即不關(guān)于y軸對稱；
令x=-a，y=-b，則-a³+b³-9a²b-9ab²=0，即a³-b³+9a²b+9ab²=0，故點(diǎn)（-a，-b）在曲線C上，即關(guān)于原點(diǎn)對稱；
令x=b，y=a，則b³-a³+9a²b+9ab²=0，故點(diǎn)（b，a）不在曲線C上，即不關(guān)于直線y=x對稱；
其中正確命題的序號是 ①．
故答案為：①．

點(diǎn)評：本題主要考查的知識點(diǎn)是曲線的對稱性，當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線上時(shí)，（-a，-b）點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線上時(shí)，（-a，b）點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于y軸對稱；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線上時(shí)，（a，-b）點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于x軸對稱；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線上時(shí)，（b，a）點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于直線x-y=0對稱；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線上時(shí)，（-b，-a）點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于直線x-y=0對稱，屬于基礎(chǔ)題．