Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足3S_n=4028+a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)f（n）表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積，問(wèn)n取何值時(shí)，f（n）有最大值？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）在數(shù)列遞推式中，取n=1求出首項(xiàng)，當(dāng)n≥2時(shí)取n=n-1得另一遞推式，作出得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由通項(xiàng)公式可得，n≤11時(shí)，|a_n|＞1，n≥12時(shí)，|a_n|＜1，由此得到|f（n）|的增減性，再結(jié)合對(duì)應(yīng)函數(shù)值的符號(hào)可知f（9）或f（12）最大，作比可得當(dāng)n=12時(shí)，f（n）有最大值．

解答： 解：（1）由3S_n=4028+a_n（n∈N^*） ①
當(dāng)n=1時(shí)，3a₁=4028+a₁，
得a₁=2014；
當(dāng)n≥2時(shí)，有3s_n-1=4028+a_n-1 ②
①-②得：3a_n=a_n-a_n-1，即an=-

1

2

an-1（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以2014為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴an=2014(-

1

2

)n-1；
（2）n≤11時(shí)，|a_n|＞1，n≥12時(shí)，|a_n|＜1，
∴|f（n）|在n≥11時(shí)遞減，在n≤11時(shí)遞增，
∴|f（11）|為最大值，f（11）＜0，f（10）＜0，f（9）＞0，f（12）＞0
∵

f(12)

f(9)

=a10a11a12＞1，
∴當(dāng)n=12時(shí)，f（n）有最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．