【題目】已知無窮數(shù)列的前n項和為,記 ,…, 中奇數(shù)的個數(shù)為

(Ⅰ)若= n,請寫出數(shù)列的前5項;

(Ⅱ)求證:"為奇數(shù), (i = 2,3,4,...)為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件;

(Ⅲ)若,i=1, 2, 3,…,求數(shù)列的通項公式.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) .

【解析】試題分析:(Ⅰ)代入的值,即可求得 , , ,

(Ⅱ)根據(jù)題意,先證充分性和不必要性,分別作出證明

Ⅲ)分當為奇數(shù)和當為偶數(shù),兩種情況進而推導(dǎo)數(shù)列的通項公式

試題解析:

(Ⅰ)解: , , ,

(Ⅱ)證明:(充分性)

因為為奇數(shù), 為偶數(shù),

所以,對于任意, 都為奇數(shù).

所以

所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

(不必要性)

當數(shù)列中只有是奇數(shù),其余項都是偶數(shù)時, 為偶數(shù), 均為奇數(shù),

所以,數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

所以“為奇數(shù), 為偶數(shù)”不是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的必要條件;

綜上所述,“為奇數(shù), 為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列” 的充分不必要條件.

(Ⅲ)解:(1)當為奇數(shù)時,

如果為偶數(shù),

為奇數(shù),則為奇數(shù),所以為偶數(shù),與矛盾;

為偶數(shù),則為偶數(shù),所以為奇數(shù),與矛盾.

所以當為奇數(shù)時, 不能為偶數(shù).

(2)當為偶數(shù)時,

如果為奇數(shù),

為奇數(shù),則為偶數(shù),所以為偶數(shù),與矛盾;

為偶數(shù),則為奇數(shù),所以為奇數(shù),與矛盾.

所以當為偶數(shù)時, 不能為奇數(shù).

綜上可得同奇偶.

所以為偶數(shù).

因為為偶數(shù),所以為偶數(shù).

因為為偶數(shù),且,所以

因為,且,所以

以此類推,可得

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B.函數(shù)不存在跟隨區(qū)間

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