Question

（本小題滿分14分）

動圓G與圓外切，同時與圓內切，設動圓圓心G的軌跡為。

（1）求曲線的方程；

（2）直線與曲線相交于不同的兩點，以為直徑作圓，若圓C與軸相交于兩點，求面積的最大值；

（3）設，過點的直線（不垂直軸）與曲線相交于兩點，與軸交于點，若試探究的值是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；(3) 。

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓方程的位置關系的綜合運用。

（1）   利用圓圓位置關系，得到圓心距與半徑的關系式，從而得到點的軌跡方程。

（2）   設出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理得到結論。

（3）   設直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用過圓心得到垂直關系，結合韋達定理得到結論。

解：（1）設圓G的半徑為r，依題意得：，

所以，所以G點軌跡是以為焦點的橢圓，

所以曲線的方程是………… 4分

（2）依題意，圓心為．

  由 得.     ∴ 圓的半徑為．     

∵ 圓與軸相交于不同的兩點，且圓心到軸的距離，

∴ ，即．                 

∴ 弦長   ∴的面積

當且僅當即時，等號成立，

所以面積的最大值是   ………………… 8分

(3) 依題意，直線的斜率存在，設，，，則

由消得：，

則 ①    ②

由得，所以

又不垂直軸，所以，故，同理；

所以=，

將①②代入上式得………………… 14分