【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= ax2+bx,a≠0.
(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)﹣g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(Ⅱ)設函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1 , C2于點M、N,證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.

【答案】解:(Ⅰ)b=2時,h(x)=lnx﹣ ax2﹣2x,
則h′(x)= ﹣ax﹣2=﹣
因為函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以h'(x)<0有解.
又因為x>0時,則ax2+2x﹣1>0有x>0的解.
①當a>0時,y=ax2+2x﹣1為開口向上的拋物線,ax2+2x﹣1>0總有x>0的解;
②當a<0時,y=ax2+2x﹣1為開口向下的拋物線,而ax2+2x﹣1>0總有x>0的解;
則△=4+4a≥0,且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根.此時,﹣1<a<0.
綜上所述,a的取值范圍為(﹣1,0)∪(0,+∞).
(Ⅱ)設點P、Q的坐標分別是(x1 , y1),(x2 , y2),0<x1<x2
則點M、N的橫坐標為x=
C1在點M處的切線斜率為k1= ,x= ,k1=
C2在點N處的切線斜率為k2=ax+b,x= ,k2= +b.
假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,則k1=k2
= +b,

= (x22﹣x12)+b(x2﹣x1
= (x22+bx2)﹣( +bx1
=y2﹣y1
=lnx2﹣lnx1
所以 = .設t= ,則lnt= ,t>1①
令r(t)=lnt﹣ ,t>1.則r′t= =
因為t>1時,r'(t)>0,所以r(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.故r(t)>r(1)=0.
則lnt> .這與①矛盾,假設不成立.
故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行
【解析】(Ⅰ)先求函數(shù)h(x)的解析式,因為函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以h'(x)<0有解,求出a的取值范圍;(Ⅱ)先利用導數(shù)分別表示出函數(shù)在C1在點M處的切線與C2在點N處的切線,結合過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1 , C2于點M、N,建立關系式,通過反證法進行證明即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)(函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集).

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) 的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間 上的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】過雙曲線的右焦點作一條直線,直線與雙曲線相交于兩點,且,若有且僅有三條直線,則雙曲線離心率的取值范圍為__________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),a為常數(shù)

1)判斷fx)在定義域內(nèi)的單調(diào)性

2)若fx)在上的最小值為,求a的值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的直徑均位于區(qū)間內(nèi)(單位: ).若生產(chǎn)一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間內(nèi)該廠可獲利分別為10,3020,10(單位:元),現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取200件測量它們的直徑,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

1的值,并估計該廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤;

2現(xiàn)用分層抽樣法從直徑位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品中隨機抽取一個容量為5的樣本,從樣本中隨機抽取兩件產(chǎn)品進行檢測,求兩件產(chǎn)品中至多有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間內(nèi)的槪率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某單位需要從甲、乙兩人中選拔一人參加新崗位培訓,特別組織了5個專項的考試,成績統(tǒng)計如下:

第一項

第二項

第三項

第四項

第五項

甲的成績

81

82

79

96

87

乙的成績

94

76

80

90

85

(1)根據(jù)有關統(tǒng)計知識,回答問題:若從甲、乙2人中選出1人參加新崗位培訓,你認為選誰合適,請說明理由;

(2)根據(jù)有關概率知識,解答以下問題:

從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個,設抽到甲的成績?yōu)?/span>,抽到乙的成績?yōu)?/span>,用表示滿足條件的事件,求事件的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】2016年某學科能力測試共有12萬考生參加,成績采用15級分,測試成績分布圖如圖,試估計成績高于11級分的人數(shù)為 (  )

A. 8 000 B. 10 000 C. 20 000 D. 60 000

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖是甲、乙兩名運動員某賽季一些場次得分的莖葉圖,據(jù)圖可知以下說法正確的是 _____.(填序號)

①甲運動員的成績好于乙運動員;②乙運動員的成績好于甲運動員;

③甲、乙兩名運動員的成績沒有明顯的差異;④甲運動員的最低得分為0分.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】三棱錐P-ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,DPB上一點,且CD平面PAB

(1)求證:AB平面PCB

(2)求異面直線APBC所成角的大小

(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值

查看答案和解析>>

同步練習冊答案