Question

已知半徑為2的圓C滿足：①圓心在y軸的正半軸上；②它截x軸所得的弦長是2

3

，
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，-3），且與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)圓的方程為x²+（y-b）²=4（b＞0），利用圓C截x軸所得的弦長是2

3

，求出b，即可求圓C的方程；
（2）分類討論，設(shè)出切線方程，求出圓的圓心與半徑，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出k，寫出切線方程即可．

解答： 解：（1）設(shè)圓的方程為x²+（y-b）²=4（b＞0），
∵圓C截x軸所得的弦長是2

3

，
∴3+b²=4，解得b=1．
∴圓C的方程是x²+（y-1）²=4；
（2）當(dāng)過點(diǎn)P的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x=2，適合題意．
當(dāng)過點(diǎn)P的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y+3=k（x-2），即kx-y-2k-3=0，
∵圓心（0，1）到切線l的距離等于半徑2，
∴

|-2k-4|

k2+1

=2，解得k=-

3

4

，
∴切線方程為y+3=-

3

4

（x-2），即3x+4y+6=0，
所以，所求的直線l的方程是3x+4y+6=0或x=2．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求法，考查圓的切線方程的求法，注意直線的斜率存在與不存在情況，是本題的關(guān)鍵．