已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π.

(1)求證:abab互相垂直;

(2)若kabakb的長度相等,求β-α的值(k為非零的常數(shù)).

答案:
解析:

  (1)由題意得:ab=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)

  ab(cosα-cosβ,sinα-sinβ) 3分

  ∴(ab)·(ab)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)

 。絚os2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0

  ∴abab互相垂直. 6分

  (2)方法一:kab(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),

  akb(cosαkcosβ,sinαksinβ) 8分

  |kab|=,|akb|= 9分

  由題意,得4cos(βα)=0,因為0<αβπ,所以βα. 12分

  方法二:由|kab|=|akb|得:|kab|2=|akb|2

  即(kab)2=(akb)2,k2|a|2+2ka·b+|b|2=|a|2-2ka·bk2|b|2 8分

  由于|a|=1,|b|=1

  ∴k2+2ka·b+1=1-2ka·bk2,故a·b=0,

  即(cos,sin)·(cos,sin)=0 10分

  Þ  

  因為0<αβπ,所以βα. 12分


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(2)求a·b的最小值,并求此時a、b的夾角的大小.

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已知a=(cosα,1,si),b=(si,1,cosα),且si≠cosα,則向量aba-b的夾角是(  )

A.0°                                    B.30°

C.60°                                  D.90°

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已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),且sinα≠cosα,則向量a+b與a-b的夾角是


  1. A.
  2. B.
    30°
  3. C.
    60°
  4. D.
    90°

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