Question

已知

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx-

1

2

)，函數(shù)f(x)=

a

•(

a

-

b

)，下列四個命題：
①f（x）是周期函數(shù)，其最小正周期為2π；
②當x=

π

8

時，f（x）有最小值2-

2

2

；
③[-

7π

8

，-

3π

8

]是函數(shù)f（x）的一個單調遞增區(qū)間；
④點(-

π

8

，2)是函數(shù)f（x）的一個對稱中心．
正確命題的個數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,簡易邏輯

分析：利用數(shù)量積運算性質、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得：函數(shù)f(x)=

a

•(

a

-

b

)=-

2

2

sin(2x+

π

4

)+2．再利用三角函數(shù)的圖象與性質即可判斷出正誤．

解答： 解：∵函數(shù)f(x)=

a

•(

a

-

b

)=(sinx，1)•(sinx-cosx，

3

2

)=sin2x-sinxcosx+

3

2

=

1-cos2x

2

-

1

2

sin2x+

3

2

=-

2

2

sin(2x+

π

4

)+2．
對于①：函數(shù)f（x）的周期為

2π

2

=π，∴①為錯誤的；
對于②：當sin(2x+

π

4

)=1時，f（x）取得最小值-

2

2

+2，此時2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，(k∈Z)，即x=

π

8

+kπ，(k∈Z)，當k=0時，x=

π

8

，∴②為正確的；對于③：令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，解得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ(k∈Z)，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ](k∈Z)，
當k=-1時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[-

7π

8

，-

3π

8

]，∴③為正確的；
對于④：令2x+

π

4

=kπ（k∈Z），解得x=-

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，∴函數(shù)f（x）的對稱中心為(-

π

8

+

kπ

2

，2)(k∈Z)，當k=0時，得點(-

π

8

，2)是函數(shù)f（x）的一個對稱中心，∴④為正確的．
綜上所述，②③④是正確的命題．
故選：D．

點評：本題考查了數(shù)量積運算性質、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質，考查了數(shù)形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．