Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （其中α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ． （Ⅰ）若A，B為曲線C1 ， C2的公共點(diǎn)，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）若A，B分別為曲線C1 ， C2上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|AB|取最大值時(shí)，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）消去參數(shù)α得曲線C1的普通方程C1：x2+y2﹣2x=0．…（1） 將曲線C2：ρ=4sinθ化為直角坐標(biāo)方程得x2+y2﹣4y=0．…（2）
由（1）﹣（2）得4y﹣2x=0，即為直線AB的方程，故直線AB的斜率為 ；
（Ⅱ）由C1：（x﹣1）2+y2=1知曲線C1是以C1（1，0）為圓心，半徑為1的圓，
由C2：x2+（y﹣2）2=4知曲線C2：是以C2（0，2）為圓心，半徑為2的圓．
∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，
∴當(dāng)|AB|取最大值時(shí)，圓心C1 ， C2在直線AB上，
∴直線AB（即直線C1C2）的方程為：2x+y=2．
∵O到直線AB的距離為 ，
又此時(shí)|AB|=|C1C2|+1+2=3+ ，
∴△AOB的面積為
【解析】（Ⅰ）消去參數(shù)α得曲線C1的普通方程，將曲線C2化為直角坐標(biāo)方程，兩式作差得直線AB的方程，則直線AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲線是以C1（1，0）為圓心，半徑為1的圓，由C2方程可知曲線是以C2（0，2）為圓心，半徑為2的圓，又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，可知當(dāng)|AB|取最大值時(shí)，圓心C1 ， C2在直線AB上，進(jìn)一步求出直線AB（即直線C1C2）的方程，再求出O到直線AB的距離，則△AOB的面積可求．