【題目】設(shè)數(shù)列為首項(xiàng)是4,公差為1的等差數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和,且。
(1)求數(shù)列及的通項(xiàng)公式和;
(2)問是否存在使成立?若存在,求出,若不存在,說明理由;
(3)對任意的正數(shù),不等式恒成立,求正數(shù)的取值范圍。
【答案】(1);(2)不存在,理由見解析;(3)
【解析】
(1)根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得的通項(xiàng)公式,利用求得的通項(xiàng)公式.
(2)假設(shè)存在符合條件的,對分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論,結(jié)合,判斷出符合條件的正整數(shù)不存在.
(3)將原不等式分離常數(shù),利用數(shù)列的單調(diào)性求得的取值范圍.
(1)依題意數(shù)列為首項(xiàng)是,公差為的等差數(shù)列,所以.由于為數(shù)列的前項(xiàng)和,且.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,也符合上式,故.
(2)假設(shè)符合條件的存在.由(1)得.
當(dāng)為正奇數(shù)時(shí),為正偶數(shù),由得,解得,不符合題意.
當(dāng)為正偶數(shù)時(shí),為正奇數(shù),由得,解得,不符合題意.
綜上所述,符合條件的正整數(shù)不存在.
(3)由(1)知,代入得.
設(shè),則,即,所以是單調(diào)遞增數(shù)列,最小值為.所以的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與圓相切,圓心的坐標(biāo)為.
(1)求圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓沒有公共點(diǎn),求的取值范圍;
(3)設(shè)直線與圓交于、兩點(diǎn),且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(1)若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處有公共切線,求的值;
(2)若存在實(shí)數(shù)使不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)(其中)
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),的值域是,求實(shí)數(shù)n與a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某油庫的設(shè)計(jì)容量為30萬噸,年初儲量為10萬噸,從年初起計(jì)劃每月購進(jìn)石油萬噸,以滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求,若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸,區(qū)域外前個(gè)月的需求量(萬噸)與的函數(shù)關(guān)系為,并且前4個(gè)月區(qū)域外的需求量為20萬噸.
(1)試寫出第個(gè)月石油調(diào)出后,油庫內(nèi)儲油量(萬噸)與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)要使16個(gè)月內(nèi)每月按計(jì)劃購進(jìn)石油之后,油庫總能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求,且每月石油調(diào)出后,油庫的石油剩余量不超出油庫的容量,試確定的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為,最小值為,令,.
(1)若,請寫出的值;
(2)求證:“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件;
(3)若對任意,有,且,請問:是否存在,使得對于任意不小于的正整數(shù),有成立?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,求證:由點(diǎn) 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽,在處按方向釋放機(jī)器人甲,同時(shí)在處按某方向釋放機(jī)器人乙,設(shè)機(jī)器人乙在處成功攔截機(jī)器人甲.若點(diǎn)在矩形區(qū)域內(nèi)(包含邊界),則挑戰(zhàn)成功,否則挑戰(zhàn)失。阎米,為中點(diǎn),機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍,比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn),記與的夾角為.
(1)若,足夠長,則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功?(結(jié)果精確到);
(2)如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域的寬的長度,才能確保無論的值為多少,總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲?
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