Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-

3

2

ax²+a（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，2）上既存在最大值又存在最小值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對(duì)a的討論；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，通過函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是對(duì)a的分類討論要全面具體．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=3x（x-a），所以有：
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a），（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，0）；
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=3x²≥0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上遞增；（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）易知f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，故最小值為f（0）=a；
當(dāng)a≥2時(shí)，由（1）知f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，故最小值為f（2）=8-5a
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由（1），f（x）在[0，a]上遞減，在[a，2]上遞增，
所以此時(shí)最小值為f(a)=-

1

2

a3+a；                     （8分）
（Ⅲ）當(dāng)a≤-1時(shí)，由（1），f（x）在（-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，2）上單調(diào)遞增，
所以此時(shí)只存在最小值f（0）而不存在最大值，不合題意；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由（1），f（x）在（-1，a]上單調(diào)遞增，在[a，0]上單調(diào)遞減，在[0，2）上單調(diào)遞增，
此時(shí)，若函數(shù)f（x）既存在最大值又存在最小值，
則最大值必為f（a），最小值必為f（0），于是應(yīng)有

f(0)≤f(-1) f(a)≥f(2)

，解得a≤-4，
又-1＜a＜0，此時(shí)a不存在；
當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)橛桑?）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，2）上單調(diào)遞增，
所以此時(shí)既不存在最大值也不存在最小值；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由（1），f（x）在（-1，0]上單調(diào)遞增，在[0，a]上單調(diào)遞減，
在[a，2）上單調(diào)遞增，若存在最大值與最小值，則應(yīng)有

f(a)≤f(-1) f(0)≥f(2)

，
解得a≥2，又0＜a＜2，故此時(shí)a不存在；
當(dāng)a≥2時(shí)，因?yàn)閒（x）在（-1，0]上單調(diào)遞增，在[0，2）上單調(diào)遞減，
于是只存在最大值不存在最小值，不合題意．
綜上不存在實(shí)數(shù)a使所給函數(shù)在給定區(qū)間上既存在最大值又存在最小值．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間及最值的知識(shí)，考查分類討論思想的運(yùn)用能力，邏輯性強(qiáng)，屬難題．