Question

如圖，已知海島A與海岸公路BC的距離為50km，B、C間的距離為100km，從A到C，先乘船，船速為25km/h，再乘汽車，車速為50km/h．設登陸點在D處，從A到C所用的時間為y（單位：h）．
（1）按下列要求建立函數(shù)關系：①設∠BAD=θ（rad），將y表示為θ的函數(shù)；②設BD=x（km），將y表示為x的函數(shù)．
（2）請選用（1）中的一個函數(shù)關系，確定登陸點D的位置，使從A到C所用時間最少？并求出所用的最少時間．

Answer 1

解：（1）①在Rt△ABD中，AB=50km，∴，∴DC=100-BD=100-50tanθ．
∴…（4分）

②在Rt△ABD中，，
∴．…．（8分）
注：定義域不寫或?qū)戝e扣（1分）
（2）①，…．（10分）
當時，y'＜0，∴函數(shù)y在單調(diào)遞減；
當時，y'＞0，
∴函數(shù)y在（0，α）單調(diào)遞增…．（12分）
∴當時，…．（13分）
此時．…．（14分）
答：當時，從A到C所用時間最少為．…．（15分）
②．…．（10分）
當時，y'＜0，∴函數(shù)y在單調(diào)遞減；
當時，函數(shù)在單調(diào)遞增…．（12分）
∴當時，．…（14分）
答：當時，從A到C所用時間最少為…．（15分）
分析：（1）①用θ表示出AD與BD，從而可以表示出DC，由路程除以速度得時間，建立起時間關于θ函數(shù)即可；
②設BD=x（km），可用公股定理求出AD，再由BC=100，用x表示出DC，由路程除以速度得時間，建立起時間關于x函數(shù)即可；
（2）選①，對函數(shù)進行求導研究函數(shù)的單調(diào)性，借助三角函數(shù)的性質(zhì)可得出當當時，用時最少，代入函數(shù)關系式求出最值即可．
選②對函數(shù)求導，研究出函數(shù)的單調(diào)性確定出當時，用時最少，求出時的函數(shù)值即可，
點評：本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，應用三角函數(shù)模型求解用時最少的問題，求解本題的關鍵是對問題進行細致分析得出符合條件的函數(shù)模型，本題在求最值時用到了導數(shù)研究單調(diào)性，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是一個非常方便的工具，遇到判斷函數(shù)的單調(diào)性的問題時不妨優(yōu)先考慮一下用導數(shù)．本題符號較多，運算較繁，極易出錯，做題時要認真嚴謹．