Question

已知函數(shù)（a為常數(shù)）．
（1）求f′（x）；
（2）當a=1時，求f（x）在x∈上的最大值和最小值（e≈2.71828）；
（3）求證：ln＞．（n＞1，且n∈N^*）

Answer 1

解：（1）因為函數(shù)，
所以f'（x）=[]'+（lnx）'=
即．（2分）
（2）當a=1時，，其中，
而時，f'（x）＜0；x∈（1，e]時，f'（x）＞0，
∴x=1是f（x）在上唯一的極小值點，（4分）
∴[f（x）]_min=f（1）=0．（5分）
又，（6分）
∴，∴．（7分）
綜上，當a=1時，f（x）在上的最大值和最小值分別為e-2和0．（8分）
（3）若a=1時，由（2）知在[1，+∞）上為增函數(shù)，（10分）
當n＞1時，令，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0，（12分）
即，
∴l(xiāng)n＞．（14分）
分析：（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的運算法則即可求出f′（x）；
（2）把a=1代入其導(dǎo)函數(shù)，找到其在x∈上的單調(diào)性，即可求出其最大值和最小值；
（3）先由（2）知在[1，+∞）上為增函數(shù)，再令，利用x＞1，f（x）＞f（1）即可證明結(jié)論．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)和導(dǎo)數(shù)這一章最基本的知識，也是教學中的重點和難點．