Question

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，記點(diǎn)的軌跡為曲．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)，，是上的不同三點(diǎn)，且滿足．證明： 不可能為直角三角形．

Answer 1

（1）
（2）利用向量的關(guān)系式來(lái)得到坐標(biāo)關(guān)系式，然后借助于反證法來(lái)說(shuō)明不成立。

試題分析：解法一：（Ⅰ）由條件可知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等， 所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為．   4分
（Ⅱ）假設(shè)是直角三角形，不失一般性，設(shè)，
，，，則由，
，，
所以．          6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015354959620.png" style="vertical-align:middle;" />，，，
所以．           8分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015355162774.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，
所以．  ①
又，
所以，即． ②   10分
由①，②得，所以． ③
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240153552871053.png" style="vertical-align:middle;" />．
所以方程③無(wú)解，從而不可能是直角三角形．       12分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）設(shè)，，，由，
得，．           6分
由條件的對(duì)稱性，欲證不是直角三角形，只需證明．
當(dāng)軸時(shí)，，，從而，，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
由于點(diǎn)在上，所以，即，
此時(shí)，，，則．    8分
當(dāng)與軸不垂直時(shí)，
設(shè)直線的方程為：，代入，
整理得：，則．
若，則直線的斜率為，同理可得：．
由，得，，．
由，可得．
從而，
整理得：，即，①
．
所以方程①無(wú)解，從而．           11分
綜合，， 不可能是直角三角形．         12分
點(diǎn)評(píng)：本小題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等