求證：
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
＞
5
6
（n≥2，n∈N*）．
分析：在證明當(dāng)n=k+1時(shí)，利用歸納假設(shè)和放縮法得到：左邊=
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
3k
+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3(k+1)
=
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k
+(
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
-
1
k+1
)
＞
5
6
+(3×
1
3k+3
-
1
k+1
)即可．
解答：證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
=
57
60
＞
50
60
=
5
6
，不等式成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥2，k∈N*）時(shí)命題成立，即
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k
＞
5
6
成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
3k
+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3(k+1)

=
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k
+(
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
-
1
k+1
)
＞
5
6
+(3×
1
3k+3
-
1
k+1
)=
5
6
．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
綜上由（1）（2）可知：原不等式對(duì)任意n≥2（n∈N*）都成立．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟及其放縮法是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax，x∈（0，+∞）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：ln(1+n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N+)；
（3）若|m|≥2，試比較：ln(1+
1
1×2
)+ln(1+
1
2×3
)+…+ln[1+
1
n×(n+1)
]+
1
n+1
（n∈N+）與m2-3大小關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)n為大于1的自然數(shù)，求證：
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
＞
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-ex．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）求證：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
+
1
n
＞ln(n+1)，(n∈N*)；
（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)h(x)=
1
2
x2與g(x)=elnx，是否存在公共切線y=kx+b（常數(shù)k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函數(shù)h（x），g（x）各自定義域上恒成立？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

求證：
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
＞
5
6
（n≥2，n∈N*）．

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同步練習(xí)冊答案