Question

【題目】已知數(shù)列，，…，的項，其中…，，，其前項和為，記除以3余數(shù)為1的數(shù)列，，…，的個數(shù)構成的數(shù)列為，.

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項公式，并化簡.

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】

（1）根據(jù)題意這6項中包含2個1或5個1，其余均為2，這樣的數(shù)列共有個，即可得解；

（2）這項中包含2個1或5個1……或個1，其余均為2，所以，結合除以3余數(shù)為2，0的數(shù)列，，…，的個數(shù)構成的數(shù)列分別為，，根據(jù)規(guī)律猜想，并用數(shù)學歸納法證明.

解：（1）因為前六項的和除以3余數(shù)為1

所以這6項中包含2個1或5個1，其余均為2，

所以這樣的數(shù)列共有個，故

（2）因為，，…，和除以3余數(shù)為1，

所以這項中包含2個1或5個1……或個1，其余均為2，

所以，設除以3余數(shù)為2，0的數(shù)列，，…，的個數(shù)構成的數(shù)列分別為，

同理，，

∵

∵

結合（1）猜想，

下面用數(shù)學歸納法證明

當時，，成立

假設當時，有，成立，且，

則當時，數(shù)列共項，分兩步看，第一步先看前項，前項的和除以3余數(shù)為1，2，0的數(shù)列的個數(shù)分別為，，，第二步看后6項，最后6項的和除以3眾數(shù)為0，2，1的數(shù)列的個數(shù)分別為22，21，21

∴

所以當時，猜想也成立

綜上，，