Question

14．已知正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的上，下底面邊長分別為3cm和6cm，高為$\frac{3}{2}$cm，求正三棱臺的表面積和體積．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出三棱臺的斜高，分別代入表面積公式和體積公式求解．

解答 解：如圖，

連接C₁O₁并延長交A₁B₁于D₁，連接CO并延長交AB于D，
∵等邊三角形A₁B₁C₁的邊長為3cm，∴${O}_{1}{D}_{1}=\frac{1}{3}{C}_{1}{D}_{1}=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$cm，
∵等邊三角形ABC的邊長為6cm，∴OD=$\frac{1}{3}CD$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}=\sqrt{3}$cm，
∵${O}_{1}O=\frac{3}{2}$cm，∴${D}_{1}D=\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}=\sqrt{3}$cm，
∴正三棱臺的表面積為$3×\frac{1}{2}（3+6）×\sqrt{3}+\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$=$\frac{{99\sqrt{3}}}{4}c{m^2}$，
體積為$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}（\frac{9\sqrt{3}}{4}+9\sqrt{3}+\sqrt{\frac{9\sqrt{3}}{4}×9\sqrt{3}}）$=$\frac{{63\sqrt{3}}}{8}c{m^3}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積，考查計算能力，是中檔題．