Question

設(shè)

a

=(

3

sinx，cosx)，

b

=(cosx，cosx)，記f(x)=

a

•

b

．
（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）試用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

11π

12

]的簡(jiǎn)圖，并指出該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）+m的最小值為2，試求出函數(shù)g（x）的最大值并指出x取何值時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+φ）的形式，最后由周期公式即可得f（x）的最小正周期
（2）由（1）f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，利用五點(diǎn)法，即將2x+

π

6

看成整體取正弦函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象，用圖象變換的方法得此函數(shù)圖象，可以先向左平移，再橫向伸縮，再向上平移的順序進(jìn)行
（3）g(x)=f(x)+m=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+m，x∈[-

π

6

，

π

3

]，求此函數(shù)的最值可先將2x+

π

6

看成整體，求正弦函數(shù)的值域，最后利用函數(shù)g（x）=f（x）+m的最小值為2，解方程可得m的值，進(jìn)而求出函數(shù)最大值

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

∴T=

2π

|ω|

=π
（2）

x	- π 12	2π 12	5π 12	8π 12	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x+ π 6 ）	0	1	0	-1	0
y	1 2	3 2	1 2	- 1 2	1 2

y=sinx向左平移

π

6

得到y=sin(x+

π

6

)，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原為的

1

2

變?yōu)?span id="0qud0vo" class="MathJye">y=sin(2x+

π

6

)最后再向上平移

1

2

個(gè)單位得到y=sin(2x+

π

6

)+

1

2

（3）g(x)=f(x)+m=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+m，
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴g(x)∈[m，

3

2

+m]，
∴m=2，
∴gmax(x)=

3

2

+m=

7

2

當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

3

時(shí)g（x）最大，最大值為

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了三角變換公式的運(yùn)用，三角函數(shù)的圖象畫(huà)法，三角函數(shù)圖象變換，及復(fù)合三角函數(shù)值域的求法．