【題目】如圖,在正方體中,點是線段上的動點,則下列說法正確的是______(填序號)
①無論點在上怎么移動,都有;
②無論點在上怎么移動,異面直線與所成角都不可能是;
③當點移動至中點時,直線與平面所成角最大;
④當點移動至中點時,才有與相交于一點,記為點,且.
【答案】①②③④
【解析】
推導(dǎo)出平面可判斷命題①的正誤;設(shè)正方體的棱長為,求得的取值范圍,可求得異面直線與所成角的余弦值的取值范圍,進而可判斷命題②的正誤;利用線面角的定義可判斷命題③的正誤;可知三棱錐為正三棱錐,可得出點為正的中心,利用重心的性質(zhì)可判斷④的正誤.綜合可得出結(jié)論.
對于命題①,如下圖所示,連接、、,
四邊形為正方形,則,
平面,平面,,
,平面,,
同理可得,,平面,
平面,,命題①正確;
對于命題②,過點作平面,垂足為點,連接,設(shè)正方體的棱長為,
則且,所以,異面直線與所成角等于,
易知是邊長為的等邊三角形,當點在線段上運動時,,且,
異面直線與所成角都不可能是,命題②正確;
對于命題③,設(shè)點到平面的距離為,設(shè)直線與平面所成的角為,
當時,即當點為的中點時,取最小值,此時取最大值,
即當點移動至中點時,直線與平面所成角最大,命題③正確;
由①可知,平面,且,
則三棱錐為正三棱錐,則與平面的唯一交點為正的中心,
如下圖所示:
連接并延長交于點,則為的中點,且為正的重心,
由重心的性質(zhì)可知,命題④正確.
故答案為:①②③④.
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【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)兩個極值點分別為:,,證:.
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【題目】已知橢圓的左右焦點為,,離心率為,過點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線交橢圓于點,兩點,與線段和橢圓短軸分別交于兩個不同點,,且,求的最小值.
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【題目】如圖,已知圓經(jīng)過橢圓的左右焦點,與橢圓在第一象限的交點為,且, , 三點共線.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)與直線(為原點)平行的直線交橢圓于兩點,當的面積取取最大值時,求直線的方程.
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【題目】盲盒里面通常裝的是動漫、影視作品的周邊,或者設(shè)計師單獨設(shè)計出來的玩偶.由于盒子上沒有標注,購買者只有打開才會知道自己買到了什么,因此這種驚喜吸引了眾多年輕人,形成了“盲盒經(jīng)濟”.某款盲盒內(nèi)可能裝有某一套玩偶的、、三種樣式,且每個盲盒只裝一個.
(1)若每個盲盒裝有、、三種樣式玩偶的概率相同.某同學(xué)已經(jīng)有了樣式的玩偶,若他再購買兩個這款盲盒,恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少?
(2)某銷售網(wǎng)點為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度,隨機發(fā)放了200份問卷,并全部收回.經(jīng)統(tǒng)計,有的人購買了該款盲盒,在這些購買者當中,女生占;而在未購買者當中,男生女生各占.請根據(jù)以上信息填寫下表,并分析是否有的把握認為購買該款盲盒與性別有關(guān)?
女生 | 男生 | 總計 | |
購買 | |||
未購買 | |||
總計 |
參考公式:,其中.
span>參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(3)該銷售網(wǎng)點已經(jīng)售賣該款盲盒6周,并記錄了銷售情況,如下表:
周數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
盒數(shù) | 16 | ______ | 23 | 25 | 26 |
由于電腦故障,第二周數(shù)據(jù)現(xiàn)已丟失,該銷售網(wǎng)點負責人決定用第4、5、6周的數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用第1、3周數(shù)據(jù)進行檢驗.
①請用4、5、6周的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程;
(注:,)
②若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2盒,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問①中所得的線性回歸方程是否可靠?
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為(),將曲線向左平移2個單位長度得到曲線.
(1)求曲線的普通方程和極坐標方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于兩點,求的取值范圍.
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【題目】謝爾賓斯三角形是一種分形,其具體操作是取一個實心的三角形沿三邊中點的連線,將它分成四個小三角形,去掉中間的那一個小三角形,然后對其余三個小三角形重復(fù)以上步驟,得到如下的系列圖稱之為謝爾賓斯:三角形.在第五個圖形中,若隨機的投入一個質(zhì)點,則質(zhì)點落入“空白”處的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)點,直線與曲線的交點為、,求的值.
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【題目】如圖,直三棱柱中,,,為的中點.
(I)若為上的一點,且與直線垂直,求的值;
(Ⅱ)在(I)的條件下,設(shè)異面直線與所成的角為45°,求直線與平面成角的正弦值.
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