【題目】已知函數(shù).

1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;

2)若函數(shù)上有且僅有一個零點,

①求證:此零點是的極值點;

②求證:.

(本題可能會用到的數(shù)據(jù):

【答案】1)見解析;(2)①證明見解析;②證明見解析.

【解析】

1)求出,由,得 ,對參數(shù)分類討論,當(dāng)時,恒成立,求出單調(diào)區(qū)間;當(dāng),令,求出方程的根,即可求得結(jié)論;

2)①求出,可判斷單調(diào)遞增,根據(jù)零點存在性定理可得,,使得,結(jié)合的單調(diào)性,可得,時,,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,上有且僅有一個零點,此零點為極小值點

②由①得,,且,整理得,且,為函數(shù)

的零點,通過求導(dǎo)判斷的單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理,可求,根據(jù)單調(diào)遞增,即可求出結(jié)論.

1)∵

,∴,∴時,恒成立,

所以單調(diào)遞增,沒有單調(diào)遞減區(qū)間.

時,設(shè),則對稱軸,

解不等式可得:,或

所以此時的單調(diào)遞增區(qū)間為.

單調(diào)遞減區(qū)間是,

綜上:時,單調(diào)遞增區(qū)間是,沒有單調(diào)遞減區(qū)間:

時,單調(diào)遞增區(qū)間為,

單調(diào)遞減區(qū)間是

2)①∵,

單調(diào)遞增,又因為,

,使得,且時,

時,

單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,

上有且僅有一個零點,

∴此零點為極小值點

②由①得,即,

解得:,且,

設(shè),

,

單調(diào)遞減,

因為,∴

又因為單調(diào)遞增,,,

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,、是兩個垃圾中轉(zhuǎn)站,的正東方向千米處,的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾,政府決定在的北面建一個垃圾發(fā)電廠.垃圾發(fā)電廠的選址擬滿足以下兩個要求(、、可看成三個點):①垃圾發(fā)電廠到兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比,比例系數(shù)相同;②垃圾發(fā)電廠應(yīng)盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)(這里參考的指標(biāo)是點到直線的距離要盡可能大).現(xiàn)估測得、兩個中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為噸和噸.設(shè)

1)求(用的表達(dá)式表示);

2)垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列六個命題:

1)若,則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.

2的圖像關(guān)于直線對稱.

3的反函數(shù)與是相同的函數(shù).

4無最大值也無最小值.

5的最小正周期為.

6有對稱軸兩條,對稱中心有三個.

則正確命題的個數(shù)是(

A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為.

1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;

2)設(shè)點,直線l與曲線C相交于AB兩點,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出,需要設(shè)計各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住,罩內(nèi)充滿保護文物的無色氣體.已知文物近似于塔形,高1.8米,體積0.5立方米,其底部是直徑為0.9米的圓形,要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米,文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米,氣體每立方米1000元,則氣體費用最少為( )元

A.4500B.4000C.2880D.2380

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖三棱柱,分別是的中點,四邊形是菱形,且平面平面.

(Ⅰ)求證:四邊形為矩形;

(Ⅱ)若,體積為,求三棱柱的側(cè)面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),.

1)當(dāng)時,求函數(shù)在點處的切線方程;

2是函數(shù)的極值點,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

3)在(2)的條件下,,若,,使不等式恒成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C:a>b>0)的頂點到直線l1:y=x的距離分別為.

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

2)設(shè)平行于l1的直線lCA,B兩點,,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,記

1)證明:有且僅有一個零點;

2)記的零點為,,若內(nèi)有兩個不等實根,判斷的大小,并給出對應(yīng)的證明.

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