(普通班)如圖所示,從橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線,恰好通過(guò)橢
圓的左焦點(diǎn)F1,且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB∥OM.
(1)求橢圓的離心率e;
(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn),F(xiàn)2是右焦點(diǎn),F(xiàn)1是左焦點(diǎn),求∠F1QF2的取值范圍.

【答案】分析:(1)首先根據(jù)MF1⊥x軸,AB∥OM,得到Rt△OMF1∽R(shí)t△ABO,從而得到比例線段:.再根據(jù)點(diǎn)M在橢圓上,
求出M的縱坐標(biāo),得出MF1=,再結(jié)合AO=a,BO=b,OF1=c,代入所得比例式,化簡(jiǎn)可得b=c,從而求出橢圓的離心率e;
(2)當(dāng)點(diǎn)Q與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)重合時(shí),∠F1QF2的大小為零;當(dāng)點(diǎn)Q不與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)重合時(shí),設(shè)∠F1QF2的大小為θ,
在△F1QF2中,利用余弦定理,結(jié)合基本不等式和橢圓的定義,可以證出4a2-4c2≤2a2(1+cosθ),結(jié)合(1)的結(jié)論
a2=2c2,可以證出cosθ≥0,從而得到0<θ≤.最后綜合,得到,即為∠F1QF2的取值范圍.
解答:解:(1)∵M(jìn)F1⊥x軸,AB∥OM,
∴Rt△OMF1∽R(shí)t△ABO⇒…(*)
設(shè)點(diǎn)M(-c,y1),代入橢圓方程,
,解之得y1=(舍負(fù)),所以MF1=
又∵AO=a,BO=b,OF1=c,
∴將AO、BO、MF1、OF1的長(zhǎng)代入(*)式,得
∴b=c,得到b2=c2,即a2-c2=c2,所以a2=2c2,
∴離心率e滿足e2=,可得(舍負(fù))(8分)      
(2)分兩種情況加以討論
①當(dāng)點(diǎn)Q與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)重合時(shí),∠F1QF2的大小為零;
②當(dāng)點(diǎn)Q不與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)重合時(shí),設(shè)∠F1QF2的大小為θ,則
在△F1QF2中,
,
將F1F2=2c,QF1+QF2=2a代入,得4c2=4a2-2QF1•QF2(1+cosθ),
∴4a2-4c2=2QF1•QF2(1+cosθ),
∵QF1•QF2=a2,即得2QF1•QF2(1+cosθ)≤2a2(1+cosθ),
∴4a2-4c2≤2a2(1+cosθ),結(jié)合(1)的結(jié)論a2=2c2
∴2a2≤2a2(1+cosθ)⇒cosθ≥0,
∵θ∈(0,π)
∴0<θ≤,
綜上所述,,即∠F1QF2的取值范圍是(14分)
點(diǎn)評(píng):本題結(jié)合一個(gè)特殊的橢圓,以求橢圓的離心率和焦點(diǎn)三角形中角的取值范圍為載體,著重考查了橢圓的基本概念、余弦定理和基本不等式等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
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(普通班)如圖所示,從橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一點(diǎn)M向x軸作垂線,恰好通過(guò)橢
圓的左焦點(diǎn)F1,且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB∥OM.
(1)求橢圓的離心率e;
(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn),F(xiàn)2是右焦點(diǎn),F(xiàn)1是左焦點(diǎn),求∠F1QF2的取值范圍.

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(1) 求橢圓的離心率e;

(2) 設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn),是右焦點(diǎn),是左焦點(diǎn),求的取值范圍;

 

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(普通班)如圖所示,從橢圓數(shù)學(xué)公式上一點(diǎn)M向x軸作垂線,恰好通過(guò)橢
圓的左焦點(diǎn)F1,且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB∥OM.
(1)求橢圓的離心率e;
(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn),F(xiàn)2是右焦點(diǎn),F(xiàn)1是左焦點(diǎn),求∠F1QF2的取值范圍.

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