Question

如圖，空間四邊形PABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°；過(guò)點(diǎn)B作BE，BF分別垂直于AP，CP于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：AC⊥面PAB；
（2）求證：PC⊥EF．

Answer 1

解：（1）∵PB⊥底面ABC，AC?平面ABC
∴PB⊥AC
又∵∠BAC=90°；
∴AC⊥AB
又PB∩AB=B
∴AC⊥面PAB；
（2）由（1）的結(jié)論，由BE?平面PAB
∴AC⊥BE，又由BE⊥AP，AC∩AP=A
∴BE⊥平面PAC
∴BE⊥PC
∵BF⊥PC，BF∩BE=B
∴PC⊥平面BEF
∴PC⊥EF
分析：（1）由已知中PB⊥底面ABC，∠BAC=90°；我們易得PB⊥AC且AC⊥AB，由線面垂直的判定定理可得，AC⊥面PAB；
（2）由（1）的結(jié)論由線面垂直的性質(zhì)，可得AC⊥BE，結(jié)合已知中過(guò)點(diǎn)B作BE，BF分別垂直于AP，CP于點(diǎn)E，F(xiàn)，由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，我們依次可證得BE⊥平面PAC，PC⊥平面BEF，最后再由線面垂直的性質(zhì)得到PC⊥EF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握空間中線線垂直與線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化及辯證關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．