【題目】如圖,幾何體EFABCD中,CDEF為邊長(zhǎng)為2的正方形,ABCD為直角梯形,ABCD,ADDC,AD=2,AB=4,ADF=90°

求證:ACFB

求二面角EFBC的大小.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) .

【解析】試題分析:

(Ⅰ)由題意結(jié)合線面垂直的判定定理可證得AC⊥平面FCB,據(jù)此有ACFB

()建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合半平面的法向量可得二面角EFBC的大小為.

試題解析:

(Ⅰ)證明:由題意得,ADDC,ADDF,且DCDF=D,

AD⊥平面CDEF,ADFC

∵四邊形CDEF為正方形.∴DCFC

DCAD=D FC⊥平面ABCD,FCAC

又∵四邊形ABCD為直角梯形,

ABCD,ADDCAD=2,AB=4

,則有AC2+BC2=AB2ACBC

BCFC=C,AC⊥平面FCB,ACFB

(Ⅱ)解:由(I)知AD,DC,DE所在直線相互垂直,故以D為原點(diǎn),以的方向分別為xyz軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz…

可得D00,0),F0,22),B24,0),

E0,0,2),C0,2,0),A2,0,0),

由(Ⅰ)知平面FCB的法向量為

,

設(shè)平面EFB的法向量為則有

設(shè)二面角EFBC的大小為θ,有圖易知為銳角

所以二面角EFBC的大小為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)如果這艘海輪不改變航向,有沒有觸礁的危險(xiǎn)?請(qǐng)說明理由.

2)如果有觸礁的危險(xiǎn),這艘海輪在處改變航向?yàn)闁|偏南方向航行,求的最小值.

附:

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(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在月平均用電量為,[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?

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