已知函數(shù)在上是增函數(shù),在上為減函數(shù).
(1)求的表達(dá)式;
(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(3)是否存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的方程在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2;(2)m>e2-2;(3)2-2ln2<b≤3-2ln3.
【解析】第一問(wèn)中,利用f′(x)=2(1+x)- 依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù),在(-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時(shí),f(x)有極小值,∴f′(-2)=0.
代入方程解得a=1,
故求得解析式
第二問(wèn)中,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,只需要求解f(x)的最大值滿足即可。第三問(wèn)中,若存在實(shí)數(shù)b使得條件成立,方程f(x)=x2+x+b
即為x-b+1-ln(1+x)2=0,構(gòu)造函數(shù)令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,
求導(dǎo)得到結(jié)論。
解 (1)∵f′(x)=2(1+x)-=2·,
依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù),在(-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時(shí),f(x)有極小值,∴f′(-2)=0.代入方程解得a=1,故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=-2.
(由于x∈,故x2=-2舍去),
易證函數(shù)在上單調(diào)遞減,
在[0,e-1]上單調(diào)遞增,
且f()=+2,f(e-1)=e2-2>+2,
故當(dāng)x∈時(shí),f(x)max=e2-2,
因此若使原不等式恒成立只需m>e2-2即可.
(3)若存在實(shí)數(shù)b使得條件成立,
方程f(x)=x2+x+b,即為x-b+1-ln(1+x)2=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,
則g′(x)=1-=,
令g′(x)>0,得x<-1或x>1,
令g′(x)<0,得-1<x<1,
故g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,要使方程f(x)=x2+x+b在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,只需g(x)=0在區(qū)間[0,1]和[1,2]上各有一個(gè)實(shí)根,于是有2-2ln2<b≤3-2ln3,
故存在這樣的實(shí)數(shù)b,當(dāng)2-2ln2<b≤3-2ln3時(shí)滿足條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
a |
x |
a |
a |
2b |
x |
a |
x |
a |
c |
x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省高一上學(xué)期期末模塊調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)在上是增函數(shù),,若,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年浙江省高三上學(xué)期10月月考文科數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題
已知函數(shù)在上是增函數(shù),則的最小值是 ( )
A. -3 B.-2 C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆河南省高二下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
已知函數(shù)在上是增函數(shù),。當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值與最小值的差為,試求的值。
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