Question

在3.11日本大地震后對福島核電站的搶險過程中，海上自衛(wèi)隊準備用射擊的方法引爆從海上游漂流過來的一個大型汽油罐，已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是

2

3

．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及Eξ．（結(jié)果用分數(shù)表示）

Answer 1

分析：（1）設(shè)命中油罐的次數(shù)是X，則當X=0或X=1時，油罐不能被引爆．由此利用對閏事件能求出油罐被引爆的概率．
（2）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5，P（ξ=2）=

2

3

×

2

3

=

4

9

，P（ξ=3）=

C

1 2

×

2

3

(1- 

2

3

)×

2

3

 =

8

27

，P（ξ=4）=

C

1 3

×

2

3

(1-

2

3

)2×

2

3

=

4

27

，P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=1-(

4

9

+

8

27

+

4

27

)=

1

9

．由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）設(shè)命中油罐的次數(shù)是X，
則當X=0或X=1時，油罐不能被引爆．
P（X=0）=(1-

2

3

)5=

1

243

，
P（X=1）=

C

1 5

 ×

2

3

×(1-

2

3

)4=

10

243

，
∴油罐被引爆的概率P=1-P（X=0）-P（X=1）=

232

243

．
（2）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5，
P（ξ=2）=

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P（ξ=3）=

C

1 2

×

2

3

(1- 

2

3

)×

2

3

 =

8

27

，
P（ξ=4）=

C

1 3

×

2

3

(1-

2

3

)2×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=1-(

4

9

+

8

27

+

4

27

)=

1

9

．
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	4 9	8 27	4 27	1 9

∴Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．