已知半橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（y≥0，a＞b＞0）和半圓x2+y2=b2（y≤0）組成的曲線C如圖所示．曲線C交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)G，H，點(diǎn)M是半圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)（
6
3
，-
3
3
）時(shí)，△AGM的面積最大，則半橢圓的方程為
y2
2
+x2=1（y≥0）
y2
2
+x2=1（y≥0）
．
分析：由點(diǎn)M（
6
3
，-
3
3
）在半圓上，可求b，然后求出G，H，A，根據(jù)已知AGM的面積最大的條件可知，OM⊥AG，
即KOM•KAG=-1，代入可求a，進(jìn)而可求橢圓方程
解答：解：由點(diǎn)M（
6
3
，-
3
3
）在半圓上，
所以b=1，
∵G（0，a），H（0，-a），A（-b，0）
而當(dāng)點(diǎn)M位于（
6
3
，-
3
3
）時(shí)，△AGM的面積最大可知，OM⊥AG，
即KOM•KAG=-1，
∵
-
3
3
6
3
=-
2
2
，KAG=
a
b
=a
∴-
2
2
•a═-1
∴a=
2
，b=1
所以半橢圓的方程為
y2
2
+x2=1（y≥0）
故答案為：
y2
2
+x2=1（y≥0）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓方程的求解，直線的垂直與斜率關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用橢圓的性質(zhì)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (y≥0)和半圓x2+y2=b2（y≤0）組成曲線C，其中a＞b＞0；如圖，半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (y≥0)內(nèi)切于矩形ABCD，且CD交y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)P是半圓x2+y2=b2（y≤0）上異于A，B的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)M(
6
3
，-
3
3
)時(shí)，△AGP的面積最大．
（1）求曲線C的方程；
（2）連PC、PD交AB分別于點(diǎn)E、F，求證：AE2+BF2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的兩點(diǎn)，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長(zhǎng)為2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺(tái)一模）直線l與橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，已知
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），若
m
⊥
n
且橢圓的離心率e=
3
2
，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(
3
2
，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，2
2
)，與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)（如圖），向量
AB
與向量
m
=(-1，
2
)共線．
（1）求橢圓的方程；
（2）若斜率為k的直線過點(diǎn)C（0，2），且與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求△POC與△QOC面積之比的取值范圍．

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