精英家教網(wǎng)已知半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (y≥0)
和半圓x2+y2=b2(y≤0)組成曲線C,其中a>b>0;如圖,半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (y≥0)
內(nèi)切于矩形ABCD,且CD交y軸于點(diǎn)G,點(diǎn)P是半圓x2+y2=b2(y≤0)上異于A,B的任意一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)M(
6
3
,-
3
3
)
時(shí),△AGP的面積最大.
(1)求曲線C的方程;
(2)連PC、PD交AB分別于點(diǎn)E、F,求證:AE2+BF2為定值.
分析:(1)由題設(shè)條件知(
6
3
)2+(-
3
3
)2=b2
,所以b=1,由此可知半圓x2+y2=b2(y≤0)在點(diǎn)M處的切線與直線AG平行,所以O(shè)M⊥AG,kAG=
2
=
a
b
,所以a=
2
,所以曲線C的方程為x2+
y2
2
=1 (y≥0)
或x2+y2=1(y≤0).
(2)設(shè)P(x0,y0),則有直線PC的方程為y-
2
=
y0-
2
x0-1
(x-1)
,令y=0,得B1,所以AE=2-
2
(x0-1)
y0-
2
;直線PD的方程為y-
2
=
y0-
2
x0+1
(x+1)
,令y=0,得xF=-1-
2
(x0+1)
y0-
2
BF=2+
2
(x0+1)
y0-
2
.由此入手能夠推導(dǎo)出AE2+BF2為定值.
解答:解:(1)已知點(diǎn)M(
6
3
,-
3
3
)

在半圓x2+y2=b2(y≤0)上,
所以(
6
3
)2+(-
3
3
)2=b2
,又b>0,
所以b=1,當(dāng)半圓x2+y2=b2(y≤0)
在點(diǎn)P處的切線與直線AG平行時(shí),
點(diǎn)P到直線AG的距離最大,
此時(shí)△AGP的面積取得最大值,
故半圓x2+y2=b2(y≤0)
在點(diǎn)M處的切線與直線AG平行,
所以O(shè)M⊥AG,又kOM=
yM-0
xM-0
=-
2
2
,
所以kAG=
2
=
a
b
,又b=1,所以a=
2
,(4分)
所以曲線C的方程為x2+
y2
2
=1 (y≥0)
或x2+y2=1(y≤0).
(2)點(diǎn)C(1,
2
)
,點(diǎn)D(-1,
2
)
,
設(shè)P(x0,y0),則有直線PC的方程為y-
2
=
y0-
2
x0-1
(x-1)
,
令y=0,得x=1-
2
(x0-1)
y0-
2
,
所以AE=2-
2
(x0-1)
y0-
2

直線PD的方程為y-
2
=
y0-
2
x0+1
(x+1)
,
令y=0,得xF=-1-
2
(x0+1)
y0-
2
,
所以BF=2+
2
(x0+1)
y0-
2

AE2+BF2=[2-
2
(x0-1)
y0-
2
]2+[2+
2
(x0+1)
y0-
2
]2

=
4
x
2
0
+4
(y0-
2
)
2
+
8
2
y0-
2
+8
,
又由x02+y02=1,得x02=1-y02,
代入上式得AE2+BF2=
8-4
y
2
0
(y0-
2
)
2
+
8
2
y0-
2
+8

=
8-4
y
2
0
+8
2
(y0-
2
)
(y0-
2
)
2
+8

=
-4(y0-
2
)
2
(y0-
2
)
2
+8=4
,所以AE2+BF2為定值.
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的兩點(diǎn),已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的離心率e=
3
2
,短軸長(zhǎng)為2,且
m
=(
x1
b
y1
a
),
n
=(
x2
b
,
y2
a
)
,若
m
n
=0

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F(0,c)(c為半焦距),求△AOB的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•煙臺(tái)一模)直線l與橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),已知
m
=(ax1,by1),
n
=(ax2,by2),若
m
n
且橢圓的離心率e=
3
2
,又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(
3
2
,1)
,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線l過橢圓的焦點(diǎn)F(0,c)(c為半焦距),求直線l的斜率k的值;
(Ⅲ)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請(qǐng)給予證明;如果不是,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知半橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(y≥0,a>b>0)和半圓x2+y2=b2(y≤0)組成的曲線C如圖所示.曲線C交x軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)G,H,點(diǎn)M是半圓上異于A,B的任意一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)(
6
3
,-
3
3
)時(shí),△AGM的面積最大,則半橢圓的方程為
y2
2
+x2=1
(y≥0)
y2
2
+x2=1
(y≥0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1
的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,2
2
)
,與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A,B兩點(diǎn)(如圖),向量
AB
與向量
m
=(-1,
2
)
共線.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為k的直線過點(diǎn)C(0,2),且與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),求△POC與△QOC面積之比的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案