Question

（2012•江蘇二模）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上恒有xf′（x）＞f（x）成立（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則稱這類函數(shù)為A類函數(shù)．
（1）若函數(shù)g（x）=x²-1，試判斷g（x）是否為A類函數(shù)；
（2）若函數(shù)h(x)=ax-3-lnx-

1-a

x

是A類函數(shù)，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）是A類函數(shù)，當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，證明f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)間'（x）=2x，所以xg'（x）-g（x）=2x²-（x²-1）=x²+1＞0在（0，+∞）上恒成立，由此能夠?qū)С鰃（x）=x²-1是A型函數(shù)．
（2）h′(x)=a-

1

x

+

1-a

x2

(x＞0)，由xh'（x）＞h（x），得ax-1+

1-a

x

＞ax-3-lnx-

1-a

x

，因?yàn)閤＞0，所以可化為2（a-1）＜2x+xlnx，由此進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，且xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，設(shè)F(x)=

f(x)

x

，F′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0在（0，+∞）時(shí)恒成立，所以函數(shù)F(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，由此能夠證明f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

解答：（1）解：因?yàn)間'（x）=2x，
所以xg'（x）-g（x）=2x²-（x²-1）=x²+1＞0在（0，+∞）上恒成立，
即xg'（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
所以g（x）=x²-1是A型函數(shù)．…（2分）
（2）h′(x)=a-

1

x

+

1-a

x2

(x＞0)，
由xh'（x）＞h（x），
得ax-1+

1-a

x

＞ax-3-lnx-

1-a

x

，
因?yàn)閤＞0，所以可化為2（a-1）＜2x+xlnx，
令p（x）=2x+xlnx，p'（x）=3+lnx，
令p'（x）=0，得x=e^-3，
當(dāng)x∈（0，e^-3）時(shí)，p'（x）＜0，p（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（e^-3，+∞）時(shí)，p'（x）＞0，p（x）是增函數(shù)，
所以p(x)min=p(e-3)=-e-3，
所以2（a-1）＜-e^-3，a＜1-

1

2

e-3．…（4分）
①當(dāng)a=0時(shí)，由h′(x)=

1-x

x2

＞0，得x＜1，
所以增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由h′(x)=

a(x- 1-a a )(x-1)

x2

＞0，得0＜x＜1，
所以增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
③當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，得x＜1，或x＞

1-a

a

，
所以增區(qū)間為（0，1），(

1-a

a

，+∞)，減區(qū)間為(1，

1-a

a

)；
④當(dāng)a=

1

2

時(shí)，h'（x）≥0，
所以，函數(shù)增區(qū)間為（0，+∞）；
⑤

1

2

＜a＜1-

1

2

e-3時(shí)，由h′(x)=

a(x- 1-a a )(x-1)

x2

＞0，得x＜

1-a

a

，或x＞1，
所以增區(qū)間為（1，+∞），a₁•a₂•…•a_k-1＞1×2×…×（k-1）≥2k-2＞k，
減區(qū)間為(

1-a

a

，1)．   …（10分）
（3）證明：函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，
且xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)F(x)=

f(x)

x

，F′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0在（0，+∞）時(shí)恒成立，
所以函數(shù)F(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，…（12分）
因?yàn)閤₁＞0，x₂＞0，
所以x₁+x₂＞x₁＞0，x₁+x₂＞x₂＞0，
所以F（x₁+x₂）＞F（x₁），F(xiàn)（x₁+x₂）＞F（x₂），
即

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

，（14分）
所以f(x1)＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

，f(x2)＜

x2f(x1+x2)

x1+x2

，
兩式相加，得f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解A型函數(shù)的概念，合理地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．