【題目】已知橢圓(為參數(shù)),A,B是C上的動點,且滿足(O為坐標(biāo)原點),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,點D的極坐標(biāo)為.
(1)求橢圓C的極坐標(biāo)方程和點D的直角坐標(biāo);
(2)利用橢圓C的極坐標(biāo)方程證明為定值.
【答案】(1),;(2)證明見解析
【解析】
(1)利用參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式即可求出橢圓C的極坐標(biāo)方程,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式求出點D的直角坐標(biāo)即可;
(2)利用(1)中橢圓C的極坐標(biāo)方程,設(shè),,根據(jù)極坐標(biāo)系中和的定義,結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可證明.
(1)由題意可知,橢圓C的普通方程為,
把代入橢圓C的普通方程可得,
橢圓C的極坐標(biāo)方程為,
因為點D的極坐標(biāo)為,
所以,解得,
所以點D的直角坐標(biāo)為.
(2)證明:由(1)知,橢圓C的極坐標(biāo)方程為,
變形得,
由,不妨設(shè),,
所以
,
所以為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在信息時代的今天,隨著手機的發(fā)展,“微信”越來越成為人們交流的一種方式,某機構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查,隨機抽取了100人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成的人數(shù)如下表:(注:年齡單位:歲)
年齡 | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 10 | 30 | 30 | 20 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 8 | 25 | 24 | 10 | 2 | 1 |
(1)若以“年齡45歲為分界點”,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表,并通過計算判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān)”?
年齡不低于45歲的人數(shù) | 年齡低于45歲的人數(shù) | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
若從年齡在[55,65),[65,75)的別調(diào)查的人中各隨機選取兩人進行追蹤調(diào)查,記選中的4人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生對食堂用餐的滿意度,從全校在食堂用餐的3000名學(xué)生中,隨機抽取100名學(xué)生對食堂用餐的滿意度進行評分.根據(jù)學(xué)生對食堂用餐滿意度的評分,得到如圖所示的頻率分布直方圖,
(1)求頻率分布直方圖中a的值及該樣本的中位數(shù)
(2)規(guī)定:學(xué)生對食堂用餐滿意度的評分不高于80分為“不滿意”,試估計該校在食堂用餐的3000名學(xué)生中“不滿意”的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,圓的圓心與橢圓C的上頂點重合,點P的縱坐標(biāo)為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為2的直線l與橢圓C交于A,B兩點,探究:在橢圓C上是否存在一點Q,使得,若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義域為R的偶函數(shù).當(dāng)x≥0時,,若關(guān)于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且僅有6個不同實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A. B.
C. D.
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【題目】若α是第一象限角,則sinα+cosα的值與1的大小關(guān)系是( )
A. sinα+cosα>1B. sinα+cosα=1C. sinα+cosα<1D. 不能確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ,以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線L的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線L的普通方程;
(2)設(shè)點P(m,0),若直線L與曲線C交于A,B兩點,且|PA||PB|=1,求實數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F為PC的中點,AF⊥PB.
(1)求PA的長;
(2)求二面角B﹣AF﹣D的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正數(shù)數(shù)列的前n項和為,滿足,.
(1)求數(shù)列的通項公式,若恒成立,求k的范圍;
(2)設(shè),若是遞增數(shù)列,求實數(shù)a的取值范圍.
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