某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是3元,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,預(yù)計(jì)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為x元(7≤x≤10)時(shí),一年的產(chǎn)量為(11-x)2萬(wàn)件.但為了保護(hù)環(huán)境,用于污染治理的費(fèi)用與產(chǎn)量成正比,比例系數(shù)為常數(shù)a(1≤a≤3).若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷(xiāo)售.
(1)求該企業(yè)一年的利潤(rùn)L(x)與出廠價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)定為多少元時(shí),企業(yè)一年的利潤(rùn)最大,并求最大利潤(rùn).

解:(1)依題意,利潤(rùn)函數(shù)L(x)=一件產(chǎn)品的利潤(rùn)×一年的產(chǎn)量-污染治理費(fèi)用,
代入數(shù)據(jù)得:
利潤(rùn)函數(shù)L(x)=(x-3)(11-x)2-a(11-x)2=(x-3-a)(11-x)2,x∈[7,10].
(2)對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求導(dǎo),得L′(x)=(11-x)2-2(x-3-a)(11-x)=(11-x)(11-x-2x+6+2a)
=(11-x)(17+2a-3x);
由L′(x)=0,得x=11(舍去)或x=;
因?yàn)?≤a≤3,所以;
所以,①當(dāng)≤7,即1≤a≤2時(shí),L′(x)在[7,10]上恒為負(fù),則L(x)在[7,10]上為減函數(shù),
所以[L(x)]max=L(7)=16(4-a)
②當(dāng)7<,即2<a≤3時(shí),L′(x)在(7,)上為正,L(x)是增函數(shù);L′(x)在(,10]上為負(fù),L(x)是減函數(shù),所以[L(x)]max=L()=(8-a)3
即當(dāng)1≤a≤2時(shí),則每件產(chǎn)品出廠價(jià)為7元時(shí),年利潤(rùn)最大,為16(4-a)萬(wàn)元.
當(dāng)2<a≤3時(shí),則每件產(chǎn)品出廠價(jià)為元時(shí),年利潤(rùn)最大,為(8-a)3萬(wàn)元.
分析:(1)利潤(rùn)函數(shù)L(x)=一件產(chǎn)品的利潤(rùn)×一年的產(chǎn)量-污染治理費(fèi)用,代入整理即可;
(2)對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求導(dǎo),得L′(x),令L′(x)=0,解得x的值,由a的取值討論L(x)在定義域上的增減性,從而得L(x)的最大值,即年利潤(rùn)最大.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用,也考查了用導(dǎo)數(shù)法求三次函數(shù)在其定義域上的最值問(wèn)題,含有參數(shù)的不等式解集問(wèn)題等,屬于較難的題目.
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