【題目】為響應(yīng)新農(nóng)村建設(shè),某村計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有舊水渠進(jìn)行改造,已知舊水渠的橫斷面是一段拋物線弧,頂點(diǎn)為水渠最底端(如圖),渠寬為4m,渠深為2m.
(1)考慮到農(nóng)村耕地面積的減少,為節(jié)約水資源,要減少水渠的過水量,在原水渠內(nèi)填土,使其成為橫斷面為等腰梯形的新水渠(如圖(1)建立平面直角坐標(biāo)系),新水渠底面與地面平行(不改變渠寬),問新水渠底寬為多少時(shí),所填土的土方量最少?
(2)考慮到新建果園的灌溉需求,要增大水渠的過水量,現(xiàn)把舊水渠改挖(不能填土)成橫斷面為等腰梯形的新水渠(如圖(2)建立平面直角坐標(biāo)系),使水渠的底面與地面平行(不改變渠深),要使所挖土的土方量最少,請(qǐng)你設(shè)計(jì)水渠改挖后的底寬,并求出這個(gè)底寬.
【答案】(1);(2)改挖后的水渠的底寬為時(shí),可使挖土的土方量最少
【解析】試題分析:(1)建立坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的方程為,由已知點(diǎn)在拋物線上,推導(dǎo)出拋物線的方程,可得梯形面積,利用導(dǎo)數(shù)可得結(jié)論;(2)為了使挖掉的土最少,等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切,設(shè)切點(diǎn),則函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為,由此能推導(dǎo)出設(shè)計(jì)改挖后的水渠的底寬為時(shí),可使用權(quán)所挖土的土方星最少.
試題解析:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
設(shè)拋物線的方程為,由已知點(diǎn)在拋物線上,得,所以拋物線的方程為.
(1)為了使填入的土最少,內(nèi)接等腰梯形的面積要最大,如圖1,設(shè)點(diǎn),則此時(shí)梯形APQB的面積,
∴,令,得,
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí), 有最大值,改挖后的水渠的底寬為m時(shí),可使填土的土方量最少.
(2)為了使挖掉的土最少,等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切,如圖2,設(shè)切點(diǎn),則函數(shù)在點(diǎn)M處的切線方程為,分別令得,所以此時(shí)梯形OABC的面積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí).所以設(shè)計(jì)改挖后的水渠的底寬為m時(shí),可使挖土的土方量最少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若在處取到極值,求的值;
(2)若在上恒成立,求的取值范圍;
(3)求證:當(dāng)時(shí), .
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【題目】若實(shí)數(shù)數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(Ⅰ)若數(shù)列是數(shù)列,且,求,的值;
(Ⅱ)求證:若數(shù)列是數(shù)列,則的項(xiàng)不可能全是正數(shù),也不可能全是負(fù)數(shù);
(Ⅲ)若數(shù)列為數(shù)列,且中不含值為零的項(xiàng),記前項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為,求所有可能取值.
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【題目】已知函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.
⑴ 若直線與曲線恒相切于同一定點(diǎn),求的方程;
⑵ 若,求證:當(dāng)時(shí), 恒成立;
⑶ 若當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽率,得到如下表格:
(1)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為,求事件“均不小于25” 的概率;
(2)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)這5天中的另3天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得到的線性回歸方程是否可靠?
參考公式: , .
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【題目】已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展開式中x的系數(shù)為11.
(1)求x2的系數(shù)取最小值時(shí)n的值;
(2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí),求f(x)展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和.
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【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,若橢圓經(jīng)過點(diǎn),且的面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)斜率為的直線與以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓交于,兩點(diǎn),與橢圓交于,兩點(diǎn),且,當(dāng)取得最小值時(shí),求直線的方程.
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【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤.
(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
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【題目】已知函數(shù)R.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;
(2)若對(duì)任意,恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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