【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ +lnx,a∈R. (Ⅰ)若f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(Ⅲ)討論函數(shù)g(x)=f'(x)﹣x的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=x+ +lnx(x>0), f′(x)=1﹣ + = ,
f(x)在x=1處取得極小值,
即有f′(1)=0,解得a=2,
經(jīng)檢驗(yàn),a=2時(shí),f(x)在x=1處取得極小值.
則有a=2;
(Ⅱ)f′(x)=1﹣ + = ,x>0,
f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,
即為f′(x)≥0在區(qū)間(1,2)上恒成立,
即a≤x2+x在區(qū)間(1,2)上恒成立,
由x2+x∈(2,6),
則a≤2;
(Ⅲ)g(x)=f′(x)﹣x=1﹣ + ﹣x,x>0,
令g(x)=0,則a=﹣x3+x2+x,
令h(x)=﹣x3+x2+x,x>0,
則h′(x)=﹣3x2+2x+1=﹣(3x+1)(x﹣1),
當(dāng)x∈(0,1),h′(x)>0,h(x)在(0,1)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞),h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)遞減.
即有h(x)的最大值為h(1)=1,
則當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn);
當(dāng)a=1或a≤0時(shí),函數(shù)g(x)有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由題意可得f′(1)=0,即可解得a,注意檢驗(yàn);(Ⅱ)由條件可得,f′(x)≥0在區(qū)間(1,2)上恒成立,運(yùn)用參數(shù)分離,求得右邊函數(shù)的范圍,即可得到a的范圍;(Ⅲ)令g(x)=0,則a=﹣x3+x2+x,令h(x)=﹣x3+x2+x,x>0,求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間和最值,結(jié)合圖象對(duì)a討論,即可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)

(1)若函數(shù)上的奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;

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(3)是否存在實(shí)數(shù)(),使得 在閉區(qū)間上的最大值為2,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖放置的邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿x軸滾動(dòng),記滾動(dòng)過(guò)程中頂點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)分別為,且在映射作用下的象,則下列說(shuō)法中:

映射的值域是;

映射不是一個(gè)函數(shù);

映射是函數(shù),且是偶函數(shù);

映射是函數(shù),且單增區(qū)間為,

其中正確說(shuō)法的序號(hào)是___________.

說(shuō)明:“正三角形ABC沿x軸滾動(dòng)包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動(dòng).沿x軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)頂點(diǎn)C落在x軸上時(shí),再以頂點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),如此繼續(xù).類(lèi)似地,正三角形ABC可以沿x軸負(fù)方向滾動(dòng).

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A.[ ,+∞)
B.[ ,+∞)
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)

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