在平面直角坐標(biāo)系x0y中，拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F，若M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則
|MO||MF|
的最大值為
 
．
分析：設(shè)M 到準(zhǔn)線x=-
1
2
 的距離等于d，由拋物線的定義可得
|MO|
|MF|
=
|MO|
d
，化簡(jiǎn)為
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
，令m-
1
4
=t，則m=t+
1
4
，
|MO|
|MF|
=
1+
1
t+
3
2
+
9
16t
，利用基本不等式求得最大值．
解答：解：焦點(diǎn)F（
1
2
，0），設(shè)M（m，n），則n2=2m，m＞0，設(shè)M 到準(zhǔn)線x=-
1
2
 的距離等于d，
則
|MO|
|MF|
=
|MO|
d
=
m2+n2
m+
1
2
=
m2+2m
m+
1
2
=
m2+2m
m2+m+
1
4
=
m2+2m
m2+m+
1
4

=
m2+m+m+
1
4
-
1
4
m2+m+
1
4
=
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
．令 m-
1
4
=t，t＞-
1
4
，則 m=t+
1
4
，
|MO|
|MF|
=
1+
t
t2+
3
2
t+
9
16
=
1+
1
t+
3
2
+
9
16t
≤
1+
1
3
=
2
3
3
（當(dāng)且僅當(dāng) t=
3
4
 時(shí)，等號(hào)成立）．
故
|MO|
|MF|
的最大值為
2
3
3
，
故答案為
2
3
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義、簡(jiǎn)單性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了換元的思想，把
|MO|
|MF|
化為
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y=
3
x+2m和圓x2+y2=n2相切，其中m，n∈N，0＜|m-n|≤1，若函數(shù)f（x）=mx+1-n的零點(diǎn)x0∈（k，k+1）k∈Z，則k=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•鹽城二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2+
y2
4
=1在第一象限的部分為曲線C，曲線C在其上動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）處的切線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量
OM
=
OA
+
OB
．
（1）求切線l的方程（用x0表示）；
（2）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．橢圓C：
x2
2
+y2=1的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l．
（1）求到點(diǎn)F和直線l的距離相等的點(diǎn)G的軌跡方程．
（2）過(guò)點(diǎn)F作直線交橢圓C于點(diǎn)A，B，又直線OA交l于點(diǎn)T，若
OT
=2
OA
，求線段AB的長(zhǎng)；
（3）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），x0≠0，直線OM交直線
x0x
2
+y0y=1于點(diǎn)N，且和橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得
OP
2=λ
OM
•
ON
？，若存在，求出實(shí)數(shù)λ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，橢圓E1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓E2：x2+y2=a+b上，且橢圓的離心率是
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓E1和圓E2的方程；
（Ⅱ）是否存在經(jīng)過(guò)圓E2上的一點(diǎn)P（x0，y0）的直線l，使l與圓E2相切，與橢圓E1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且
OA
•
OB
=3？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•南京二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)A(
a
2
，
a
2
)，B(
3
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓C上，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線l的方程為x0x+3y0y-6=0．
①求證：直線l與橢圓C有唯一的公共點(diǎn)；
②若點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求證：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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